测量不确定度的评定方法－ZT http://www.sans.com.cn/sansbbs/dispbbs.asp?boardID=3&RootID=6053&ID=6053&page=1

　　５　输入量的标准不确定度评定
　　(1)对于数学模型y=f( ， ，．．．， ),输出量y的不确定度将取决于 的不确定度，即 不确定度是y的不确定度的来源，所以在评定输出量y的不确定度之前，首先应评定输入量 的标准不确定度u( )。
　　　u( )评定一般应按 ， ，．．．， 依次逐个评定。每个输入量 的u( )的评定中，可能会有几个独立无关的不确定度来源，则可相应作为u( )分项。这种情况应首先评定标准不确定度u( )的分项u( )，u( )则为各个u( )的合成。
输入量 的标准不确定度u( )及其分量u( )的评定方法可归纳为A、B两类：
A类评定——用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。
B类评定——用不同于对观测列进行统计分析方法，来评定标准不确定度。
(2)标准不确定度的A类评定
A． 评定测量不确定度之前，应根据有关准则(如格拉布斯准则)判断剔除测量数据中可能存在的异常值。

B． 基本方法
标准不确定度的评定可按测量数据的任何一种统计计算方法进行，用得到的实验标准偏差表征。样本值的标准偏差可通过以下几种方法进行估计。
(a) 贝塞尔法
标准不确定度A类评定的信息来源于对一个输入量x进行多次重复测量得到的测量列： ， ，．．．， ，采用统计分析方法计算标准不确定度。输入量的最佳值等于测量列 ， ，．．．， 的算术平均值，在等精度测量下，算术平均值 为：
= (5)
测量列的单次(一次)实验标准差S通常可采用贝塞尔法计算：

s= (6)
测量列的平均值的实验标准差s( )可接下式计算：
s( )= (7)
输入量X的A类标准不确定度u(x)即为测量列的平均值的实验标准差：
u(x)= s( )= (8)
A类标准不确定度u(x)的自由度等于测量列标准差的自由度，用贝塞尔法计算测量列标准差时，其自由度v为：
v=n－１　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　(9)
式中：n—测量列的测量次数。
一般情况下，当n≥6时，推荐使用贝塞尔法计算实验标准偏差。
(b)极差法
对被测量进行几次独立重复观测，从测量数据中找出最大值 和最小值 ，根据测量次数n查表1得到系数 和自由度 ，按公式(10)计算实验标准偏差s(x)。
s(x)=( － )／ (10)
则标准不确定度u(x)= s(x)／
表1 极差法的系数 和自由度 表
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20
1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 2.08 3.47 3.73
0.9 1.8 2.7 3.6 4.5 5.3 6.0 6.8 7.5 10.5 13.1
一般情况下，n<6时，推荐使用极差法计算实验标准偏差。

(c)最大残差法
对被测量进行几次独立重复观测，按公式(5)计算测量平均值并计算各残差 ( = － )，从中找出绝对值最大的残差，根据测量次数n查表2得到系数 和自由度 ，按公式(11)计算实验标准偏差s(x)。
表2 最大残差法系数 和自由度 表
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20
1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48
0.9 1.8 2.7 3.6 4.4 5.0 5.6 6.2 6.8 9.3 11.5
s(x)= (11)
则标准不确定度u(x)= s(x)／
(d)较差法
对被测量进行几次独立重复观测，计算相邻测量值之差的平方和，按公式(12)计算实验标准偏差。

s(x)= (12)
则标准不确定度u(x)= s(x)／
当被测量随时间变化，贝塞尔法不适用时，推荐采用较差法计算实验标准偏差。
(e)最小二乘法
由最小二乘法拟合的曲线上任何预期点和曲线拟合参数的实验标准偏差用最小二乘法的有关统计程序计算得到。参见最小二乘法相关资料。
(f)测量过程的实验标准偏差
在规范化的常规测量中，如计量标准开展的检定项目，通过实验室认可的校准/检测项目等。在重复性条件下或复现性条件下进行规范化测量，测量结果的不确定度及其A类标准不确定度也可不一定每次测量时重新评定，可直接采用预先评定的结果，为提高其可靠性，一般应采用合并样本标准偏差。
对输入量X在重复性条件下或复现性条件下进行了几次独立测量，得到 ， ，．．．， ，其平均值为 ，实验标准偏差为s，自由度为v。如果有m组这样的测量，则合并样本标准偏差可按(13)式计算：
= (13)
合并样本标准偏差的自由度v可按(14)式计算：
v = (14)
式中： —m组测量列中第j组测量列的自由度。
在实际测量中，如对输入量X仅进行了k次测量(1≤k≤n)，以k次测量算术平均值作为测量结果，则该结果的标准不确定度可为：
u( )= (15)
对(15)式，无论实际测量次数k取多大，其标准不确定度u( )的自由度均等于 的自由度即v。上述 m组测量列应考虑到可能的不同测量点，不同量程的测量结果。如果在不同测量点，不同量程所得测量列的标准偏差相差较大或有一定变化规律时，就应按不同测量点，不同量分段计算 。
为使所得合并样本标准偏差 更能代表日常规范化测量情况，上述m组测量列还应尽可能考虑到同类型的不同被测情况。如果对同类型不同被测所得测量列的标准偏差相差较大，就不能使用同一个合并样本标准偏差 ，通过试验说明该类型被测不太稳定，需对每个被测进行A类评定或在测量要求允许的情况下保守地采用其中一列标准偏差的测量列，自由度为n-1，n为该测量列的测量次数。
应注意合并样本标准偏差 只有在同类型被测较稳定，m组测量列的各个标准偏差s相差不大的情况下，标准偏差s的不确定度可以忽略时，才能使用同一个 。考虑到测量列的标准偏差s是一个变量，标准偏差s的标准偏差可估计为:
(16)

式中：n—测量列中测量次数。
当 n=9，则 。所以当m组测量列标准偏差的标准偏差不大于 ，才可以使用同一个 ，否则就不可使用同一个 ，应按上述相应方法处理。

(3)标准不确定度的B类评定
A基本公式
标准不确定度的B类评定，可以根据所提供的信息，先确定(找出)其输入量x的不确定度区间[-a,a]或误差的范围(a为区间的半宽度)。然后根据该输入量在不确定度区间[-a,a]内的概率分布情况确定包含因子 ，则按(17) 式可计算B类标准不确定度u(x)：
u(x)= (17)
式中： a—被测量可能值的区间半宽度；
—置信因子
B a的信息来源
以前的测量数据；经验和一般知识；技术说明书；校准/检测证书；检测报告及其他材料；手册参考资料。例如：
(a) a=△( △为允许误差极限)　　　　　　　　　　　　　　　 (１８)
(b) a=U　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (１９)
(c) a= (２０)
(d) a=数字显示器的分辨力为一个数字，则a一般取为一个数字所表示量值的二分之一。
(e) 用实验方法估计可能值的区间。
C B类不确定度评定常见情况
(a) 数字显示的分辩力
若分辨力为 ，示值x可以等概率处于x- 至x+ 的区间任何处，即宽度为的矩形概率分布，B类标准不确定度：
u(x)= 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(２１)
(b) 滞后
滞后方向不是总能观察到，在平衡点附近有振荡，引起可能读数范围宽为 ，B类标准不确定度为：
u(x)= 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　(２２)
(c) 有限位数的数字计算
计算机将数据压缩引起数据舍入或截断,计算时最重要的输入量增加一个小增量,以使输出量变化,设为 ,B类标准不确定度为：
　　　u(x)= 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (２３)
　　Ｄ　置信因子
置信因子的确定一般有以下几种方法：
(a) 服从正态分布情况，如输入量Ｘ在 区间内服从正态分布，则置信因子可由表３确定。
　　　　　表３　正态分布情况下置信概率Ｐ与置信因子 间的关系
　Ｐ(%) 50 68.27 90 95 95.45 90 99.73
0.67 1 1.645 1.960 2 2.576 3

(b) 服从其他分布情况，如输入量X在[-a,a]区间内服从其他一些分布，则置信因子k可由表4确定。

　　　　　　表4常用分布情况的包含因子　
分布差别 三角 梯形 矩形(均匀) 反正弦 两点
k １
注： k的置信概率为100%。　　 为梯形上底半宽度与下底半宽度之比０< <１。如 =0.71,k=2
E. 概率分布假设
(a)正态分布
a)重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；
b)被测量Y用扩展不确定度给出，而对其分布又没有特殊指明时，估计值Y的分布；
c)被测量Y的合成标准不确定度 (y)中，相互独立的分量 (y)较多，它们之间的大小也比较接近时，Y的分布；
d)被测量Y的合成标准不确定度 (y)中相互独立的分量 (y)中，存在两个界限值接近的三角分布，或4个界限值接近的均匀分布时；
e)被测量Y的合成标准不确定度 (y)的相互独立的分量中，量值较大的分量(起决定作用的分量)接近正态分布时。
(b)矩形(均匀)分布
a)数字修约导致的不确定度；
b)数字式测量仪器对示值量化(分辨力)导致的不确定度；
c)测量仪器由于滞后，摩擦效应导致的不确定度；
d)使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度；
e)用上、下界绘出的线膨胀系数；
f)测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度；
g)平衡指示器调零不准导致的不确定度。
(c)三角分布
a)相同修约间隔给出的两个独立量之和或差，由修约导致的不确定度；
b)因分辨力引起的两次测量结果之和或差的不确定度；
c)用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度；
d)两相同均匀分布的合成。
(d)反正弦分布(U形分布)
a)度盘偏心引起的测角不确定度；
b)正弦振动引起的位移不确定度；
c)无线电中失配引起的不确定度；
d)随时间正余弦变化的温度不确定度。
(e) 两点分布
例如，按级使用量块时，中心长度偏差导致的概率分布。
(f)投影分布
a)当 受到 (角 服从均匀分布)影响时， 的概率分布；
b)安装或调整测量仪器的水平或垂直状态导致的不确定度。
g)无法估计的分布
大多数测量仪器，对同一被测量多次重复测量，单次测量值的分布一般不是正态分布，往往偏差甚远。如轴尖支承式表示值分布，介于正态分布与均匀分布之间，数字电压表示值分布是双峰状态，磁电式仪表的示值分布与正态分布相差甚远。

F B类评定的自由度
　　Ｂ类评定的标准不确定度 的自由度可按(２４)式近似计算得：
　　　　v＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(２４)
　　根据经验，按所依据的信息来源的可信程度可估计 的相对标准不确定度 ，然后按式(２４)计算自由度Ｖ列于表５。
　　　　　表５　 与v关系
０ 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50
V 50 12 8 6 3 2

合成标准不确定度的评定
（１） 灵敏系数
对于数学模型
y=f( ， ，．．．， )
是在 ＝ 时导出的这些偏导数称为灵敏系数，符号为 ，即 ＝ 。
灵敏系数反映了输入量Ｙ的估计值y 如何随输入量估计值 ， ，．．．， 的变化而变化，即 描述了当 变化一个单位时，引起y的变化量。有时，灵敏系数 可由实验测定，即通过变化第i个输入量 ，而保持其余输入量不变，从而测定Ｙ的变化量。
（２） 标准不确定度汇总表
　在标准不确定度合成前，应将所有通过Ａ类评定和Ｂ类评定得到的标准不确定度按表５格式形成汇总表，以使统览和审核各输入量的标准不确定度的情况。
　
　　表５　　　　　　　　　　　标准不确定度汇总表
标准不确定度u( ) 不确定度来源 标准不确定度值 灵敏系数 u( ) 自由度




(３)合成标准不确定度的计算
　　　　　合成标准不确定度是由各标准不确定度分量的平方及各分量间的协方差合成得到，无论各标准不确定度是Ａ类评定还是Ｂ类评定。合成标准不确定度是按输出量Ｙ的估计值y给出的，符号为 (y)。
　　　　Ａ　直接测量
　　　　　　不需测量与被测量有函数关系的其他量，而能直接得到被测量值的一种测量方法称为直接测量法。
　　　　　　被测量Ｙ由测量仪器直接测得，测量结果y的不定度包含Ｎ个标准不确定度分量，且各分量相互独立不相关，合成标准不确定度 按(２５)式计算。
　　　　　　 (y)＝ 　　 　　　　　　　　　　　　　　　(２５)
　　　　Ｂ　间接测量
　　　　　　通过测量与被测量有函数关系的其他量，从而得到被测量值的一种测量方法称为间接测量法。
　　　　　　被测量Ｙ的测量结果y是通过测量各输入量后，由y=f( ， ，．．．， )的函数关系计算得到，测量结果y的合成标准不确定度 (y)按公式(２６)计算。公式(２６)通常称为不确定度传递率。
　　　　　　 (y)＝ (２６)
　　　　　　 ＝ . . 　　　　　　　　　　　 (２７)
　　　　　
　　　　式中： —输入量 的测量值；
　　　　　　　 —输入量 的测量值，且j i ；
— 的灵敏系数；
　　　　　　　 — 的灵敏系数；
　　　　　　　u( )— 的标准不确定度；
　　　　　　　u( )— 的标准不确定度；
　　　　　　　 — 、 协方差的估计值，j i；
　　　　 — 、 的相关系数估计值，j i。
(a)各输入量独立不相关时， 为０； (y)由公式(２８)计算。
　　　　 (y)＝ 　　　　　　　　 　　　　　　(２８)
　　　　式中 为被测量y的标准不确定度分量 (y)，因此，公式(２８)也可以表示成：
　　　　　 (y)＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　 (２９)
a) 被测量的函数形式为： ，合成标准不确定度 (y)用公式(３０)计算。
　 (y)＝ 　　　　　　　　　　　　　　 (３０)
b) 被测量的函数形式为：Ｙ＝Ａ 时，指数 是已知的正数或负数，其不确定度可忽略时，被测量的测量结果y的相对合成标准不确定度用公式(３１)计算。

　 (y)＝ ＝ (３１)
(b)各输入量之间相关时， (y)由公式(２６)计算；其输入量之间的协方差由公式(２７)计算。
　 估计相关系数可用下列方法之一得到：
　 输入量 和 中的一个可作常数处理时，相关系数为０；
　 设输入量 测量值为 ，输入量 测量值为 ，由同时观测得到的n对实验数据，按公式(３２)估计计算其相关系数估计值 。
＝ 　　　　　　　 　　　　　(３２)
　 所有输入量都相关，且估计相关系数 ＝１，则合成标准不确定度 (y)按公式(３３)计算。
　　
　　　　　 (y)＝ 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　(３３)
所有输入量都相关，且相关系数为１，当 ＝＋１，则测量结果的合成标准不确定度是每个输入量的标准不确定度u( )的代数和， (y)按公式(３４)计算。
　　
　　　　　 (y)＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (３４)
Ｃ　合成标准不确定度的自由度
合成标准不确定度 (y)的自由度称为有效自由 。如果 (y)是两个或多个估计方差分量的合成，即 (y)= ，则即使每个 是正态分布的输入量 的估计值时，变量 的分布是t分布，其有效自由度 可由韦尔奇—萨特思韦特(Welch —Satterthwaite)公式计算。
　　　 ＝ 　　　　　　　　　　　　　　 　　(３５)
式中：　　　 (y)＝ u( )
显然有：　　
式(３５)也可用于相对标准不确定度的合成，按式(３６)计算时有：
＝ ＝ 　　　　　　　　　　　　 　　(３６)
式中：pi=ci·xi ——无量纲化的灵敏系数
实际上，如果Ｙ＝ ＝ ，即使 的分布不是正态的，只要 (y)比由非正态分布的 的单个分量 ( )大得多。Ｙ的分布通常可以用正态分布近似。
由于自由度大多是估算的，有效自由度的估算也不必太过仔细，只需按式(３５)或式(３６)计算结果，以便于查t值表将自由度取整，如计算得有效自由度大于５０或大于１００，则有效自由度可估计为５０或１００即可。这样对扩展不确定度的最终结果也不会有太大的影响。
７　扩展不确定度的评定
　　扩展不确定度分为两种，即 和 前者具有概率的置信区间的半宽，后者为标准差的倍数。它们的含义不同，必要时应采用符号下标加以区别。
（１） 扩展不确定度 可按(３7)式计算：
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　(３7)
　　 由 乘以给定概率中的包含因子 得到，可以期望在 至 的区间内，以概率中包含了测量结果的可能性。
　　 与y的分布有关，当y接近正态分布时， 可采用t分布的临界值域简称t值，见附录A。
　　 可按置信概率Ｐ及有效自由度 查附录Ａ表得到，置信概率Ｐ一般采取９９％和９５％。多数情况下，采用Ｐ＝９５％。
　　对某些计量标准器具的检定或校准，根据有关规定可采用Ｐ＝９９％。
（2）扩展不确定度Ｕ可按(３8)式计算：
(３8)
上式表达式U由 乘以一个包含因子k得到，可以期望在y- U至y+ U的区间包含了测量结果可能值的较大部分。k值一般取2～3。
U虽然是没有明确置信概率的扩展不确定度，可以大致认为：
k=2，置信概率为95%；
k=3，置信概率为99%；
(3)如果可以确定Y可能值的分布不是正态分布，而是接近于其他某种分布，则不应按 ，或k＝２～３计算 或 。当输入量的项数较少，且某项特大，明显起主要作用，该项目 的可能值分布不是正态分布，可能近似为均匀分布，则可确定Y的可能值的分布也不是正态分布，而近似为均匀分布。这种情况下，包含因子 和 的关系如下：
　　
对于 ， ＝1.65
对于 ， ＝1.71

8.测量不确定度的报告与表示
当给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。
(1) 通常在报告基础计量学研究，基本物理常量测量及复现国际单位制单位和国际比对结果时，使用合成标准不确定度，同时给出有效自由度。
在其它大部分情况下，报告测量结果时，如实验室间能力比对试验、工业、商业，尤其涉及到安全、健康情况下报告测量结果时，均应同时报告扩展不确定度。
(2) 报告测量不确定度应尽可能详细，以使使用者可以正确地利用测量结果。
报告扩展不确定度U时，应同时报告包含因子k；
报告扩展不确定度 时，应同时报告包含因子 、 及P。
(3) 报告合成标准不确定度或扩展不确定度的有效位数最多为两位有效数字。在连续(中间)计算中为避免修约误差可保留多一些有效数字。最终报告不确定时，其末位后面的数有时可能采取进位而不是舍去。
对报告的测量结果，需将其修约至与其不确定度有效位数一致(即报告测量结果的有效数字末位与其不确定度的末位在“数位”上应一致)。
(４) 的报告常用以下两种形式之一：
　　　例如： =0.35mg，取包含因子k=2，Ｕ=2 0.35mg=70mg，则可有下面两种表示形式：
　　　Ａ　 =100.02147mg，Ｕ=0.70mg;k=2;
B =(100.0247 0.00078)g; k＝２;

(5) = 的报告常用以下两种形式之一。
　　　例如： =0.35mg， =10，取 ，查附录Ａ得 = =2.23，
=2.23 0.35mg=0.78mg,则常用下面两种表示形式。
　　　Ａ =100.02147mg, =0.78mg, =10 ；
B =(100.02147 0.00078)g, =10,P=0.95。
(６)测量不确定度也可以用相对形式报告
　　　 ， ， 。例如：
Ａ　 ＝100.02147(1 7.8 10 )g ,p=95%, =10。
　 式中

F B类评定的自由度
　　Ｂ类评定的标准不确定度 的自由度可按(２４)式近似计算得：
　　　　v＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(２４)
　　根据经验，按所依据的信息来源的可信程度可估计 的相对标准不确定度 ，然后按式(２４)计算自由度Ｖ列于表５。
　　　　　表５　 与v关系
０ 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50
V 50 12 8 6 3 2

合成标准不确定度的评定
（１） 灵敏系数
对于数学模型
y=f( ， ，．．．， )
是在 ＝ 时导出的这些偏导数称为灵敏系数，符号为 ，即 ＝ 。
灵敏系数反映了输入量Ｙ的估计值y 如何随输入量估计值 ， ，．．．， 的变化而变化，即 描述了当 变化一个单位时，引起y的变化量。有时，灵敏系数 可由实验测定，即通过变化第i个输入量 ，而保持其余输入量不变，从而测定Ｙ的变化量。
（２） 标准不确定度汇总表
　在标准不确定度合成前，应将所有通过Ａ类评定和Ｂ类评定得到的标准不确定度按表５格式形成汇总表，以使统览和审核各输入量的标准不确定度的情况。
　
　　表５　　　　　　　　　　　标准不确定度汇总表
标准不确定度u( ) 不确定度来源 标准不确定度值 灵敏系数 u( ) 自由度




(３)合成标准不确定度的计算
　　　　　合成标准不确定度是由各标准不确定度分量的平方及各分量间的协方差合成得到，无论各标准不确定度是Ａ类评定还是Ｂ类评定。合成标准不确定度是按输出量Ｙ的估计值y给出的，符号为 (y)。
　　　　Ａ　直接测量
　　　　　　不需测量与被测量有函数关系的其他量，而能直接得到被测量值的一种测量方法称为直接测量法。
　　　　　　被测量Ｙ由测量仪器直接测得，测量结果y的不定度包含Ｎ个标准不确定度分量，且各分量相互独立不相关，合成标准不确定度 按(２５)式计算。
　　　　　　 (y)＝ 　　 　　　　　　　　　　　　　　　(２５)
　　　　Ｂ　间接测量
　　　　　　通过测量与被测量有函数关系的其他量，从而得到被测量值的一种测量方法称为间接测量法。
　　　　　　被测量Ｙ的测量结果y是通过测量各输入量后，由y=f( ， ，．．．， )的函数关系计算得到，测量结果y的合成标准不确定度 (y)按公式(２６)计算。公式(２６)通常称为不确定度传递率。
　　　　　　 (y)＝ (２６)
　　　　　　 ＝ . . 　　　　　　　　　　　 (２７)
　　　　　
　　　　式中： —输入量 的测量值；
　　　　　　　 —输入量 的测量值，且j i ；
— 的灵敏系数；
　　　　　　　 — 的灵敏系数；
　　　　　　　u( )— 的标准不确定度；
　　　　　　　u( )— 的标准不确定度；
　　　　　　　 — 、 协方差的估计值，j i；
　　　　 — 、 的相关系数估计值，j i。
(a)各输入量独立不相关时， 为０； (y)由公式(２８)计算。
　　　　 (y)＝ 　　　　　　　　 　　　　　　(２８)
　　　　式中 为被测量y的标准不确定度分量 (y)，因此，公式(２８)也可以表示成：
　　　　　 (y)＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　 (２９)
a) 被测量的函数形式为： ，合成标准不确定度 (y)用公式(３０)计算。
　 (y)＝ 　　　　　　　　　　　　　　 (３０)
b) 被测量的函数形式为：Ｙ＝Ａ 时，指数 是已知的正数或负数，其不确定度可忽略时，被测量的测量结果y的相对合成标准不确定度用公式(３１)计算。

　 (y)＝ ＝ (３１)
(b)各输入量之间相关时， (y)由公式(２６)计算；其输入量之间的协方差由公式(２７)计算。
　 估计相关系数可用下列方法之一得到：
　 输入量 和 中的一个可作常数处理时，相关系数为０；
　 设输入量 测量值为 ，输入量 测量值为 ，由同时观测得到的n对实验数据，按公式(３２)估计计算其相关系数估计值 。
＝ 　　　　　　　 　　　　　(３２)
　 所有输入量都相关，且估计相关系数 ＝１，则合成标准不确定度 (y)按公式(３３)计算。
　　
　　　　　 (y)＝ 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　(３３)
所有输入量都相关，且相关系数为１，当 ＝＋１，则测量结果的合成标准不确定度是每个输入量的标准不确定度u( )的代数和， (y)按公式(３４)计算。
　　
　　　　　 (y)＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (３４)
Ｃ　合成标准不确定度的自由度
合成标准不确定度 (y)的自由度称为有效自由 。如果 (y)是两个或多个估计方差分量的合成，即 (y)= ，则即使每个 是正态分布的输入量 的估计值时，变量 的分布是t分布，其有效自由度 可由韦尔奇—萨特思韦特(Welch —Satterthwaite)公式计算。
　　　 ＝ 　　　　　　　　　　　　　　 　　(３５)
式中：　　　 (y)＝ u( )
显然有：　　
式(３５)也可用于相对标准不确定度的合成，按式(３６)计算时有：
＝ ＝ 　　　　　　　　　　　　 　　(３６)
式中：pi=ci·xi ——无量纲化的灵敏系数
实际上，如果Ｙ＝ ＝ ，即使 的分布不是正态的，只要 (y)比由非正态分布的 的单个分量 ( )大得多。Ｙ的分布通常可以用正态分布近似。
由于自由度大多是估算的，有效自由度的估算也不必太过仔细，只需按式(３５)或式(３６)计算结果，以便于查t值表将自由度取整，如计算得有效自由度大于５０或大于１００，则有效自由度可估计为５０或１００即可。这样对扩展不确定度的最终结果也不会有太大的影响。
７　扩展不确定度的评定
　　扩展不确定度分为两种，即 和 前者具有概率的置信区间的半宽，后者为标准差的倍数。它们的含义不同，必要时应采用符号下标加以区别。
（１） 扩展不确定度 可按(３7)式计算：
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　(３7)
　　 由 乘以给定概率中的包含因子 得到，可以期望在 至 的区间内，以概率中包含了测量结果的可能性。
　　 与y的分布有关，当y接近正态分布时， 可采用t分布的临界值域简称t值，见附录A。
　　 可按置信概率Ｐ及有效自由度 查附录Ａ表得到，置信概率Ｐ一般采取９９％和９５％。多数情况下，采用Ｐ＝９５％。
　　对某些计量标准器具的检定或校准，根据有关规定可采用Ｐ＝９９％。
（2）扩展不确定度Ｕ可按(３8)式计算：
(３8)
上式表达式U由 乘以一个包含因子k得到，可以期望在y- U至y+ U的区间包含了测量结果可能值的较大部分。k值一般取2～3。
U虽然是没有明确置信概率的扩展不确定度，可以大致认为：
k=2，置信概率为95%；
k=3，置信概率为99%；
(3)如果可以确定Y可能值的分布不是正态分布，而是接近于其他某种分布，则不应按 ，或k＝２～３计算 或 。当输入量的项数较少，且某项特大，明显起主要作用，该项目 的可能值分布不是正态分布，可能近似为均匀分布，则可确定Y的可能值的分布也不是正态分布，而近似为均匀分布。这种情况下，包含因子 和 的关系如下：
　　
对于 ， ＝1.65
对于 ， ＝1.71

8.测量不确定度的报告与表示
当给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。
(1) 通常在报告基础计量学研究，基本物理常量测量及复现国际单位制单位和国际比对结果时，使用合成标准不确定度，同时给出有效自由度。
在其它大部分情况下，报告测量结果时，如实验室间能力比对试验、工业、商业，尤其涉及到安全、健康情况下报告测量结果时，均应同时报告扩展不确定度。
(2) 报告测量不确定度应尽可能详细，以使使用者可以正确地利用测量结果。
报告扩展不确定度U时，应同时报告包含因子k；
报告扩展不确定度 时，应同时报告包含因子 、 及P。
(3) 报告合成标准不确定度或扩展不确定度的有效位数最多为两位有效数字。在连续(中间)计算中为避免修约误差可保留多一些有效数字。最终报告不确定时，其末位后面的数有时可能采取进位而不是舍去。
对报告的测量结果，需将其修约至与其不确定度有效位数一致(即报告测量结果的有效数字末位与其不确定度的末位在“数位”上应一致)。
(４) 的报告常用以下两种形式之一：
　　　例如： =0.35mg，取包含因子k=2，Ｕ=2 0.35mg=70mg，则可有下面两种表示形式：
　　　Ａ　 =100.02147mg，Ｕ=0.70mg;k=2;
B =(100.0247 0.00078)g; k＝２;

(5) = 的报告常用以下两种形式之一。
　　　例如： =0.35mg， =10，取 ，查附录Ａ得 = =2.23，
=2.23 0.35mg=0.78mg,则常用下面两种表示形式。
　　　Ａ =100.02147mg, =0.78mg, =10 ；
B =(100.02147 0.00078)g, =10,P=0.95。
(６)测量不确定度也可以用相对形式报告
　　　 ， ， 。例如：
Ａ　 ＝100.02147(1 7.8 10 )g ,p=95%, =10。
　 式中

F B类评定的自由度
　　Ｂ类评定的标准不确定度 的自由度可按(２４)式近似计算得：
　　　　v＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(２４)
　　根据经验，按所依据的信息来源的可信程度可估计 的相对标准不确定度 ，然后按式(２４)计算自由度Ｖ列于表５。
　　　　　表５　 与v关系
０ 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50
V 50 12 8 6 3 2

合成标准不确定度的评定
（１） 灵敏系数
对于数学模型
y=f( ， ，．．．， )
是在 ＝ 时导出的这些偏导数称为灵敏系数，符号为 ，即 ＝ 。
灵敏系数反映了输入量Ｙ的估计值y 如何随输入量估计值 ， ，．．．， 的变化而变化，即 描述了当 变化一个单位时，引起y的变化量。有时，灵敏系数 可由实验测定，即通过变化第i个输入量 ，而保持其余输入量不变，从而测定Ｙ的变化量。
（２） 标准不确定度汇总表
　在标准不确定度合成前，应将所有通过Ａ类评定和Ｂ类评定得到的标准不确定度按表５格式形成汇总表，以使统览和审核各输入量的标准不确定度的情况。
　
　　表５　　　　　　　　　　　标准不确定度汇总表
标准不确定度u( ) 不确定度来源 标准不确定度值 灵敏系数 u( ) 自由度




(３)合成标准不确定度的计算
　　　　　合成标准不确定度是由各标准不确定度分量的平方及各分量间的协方差合成得到，无论各标准不确定度是Ａ类评定还是Ｂ类评定。合成标准不确定度是按输出量Ｙ的估计值y给出的，符号为 (y)。
　　　　Ａ　直接测量
　　　　　　不需测量与被测量有函数关系的其他量，而能直接得到被测量值的一种测量方法称为直接测量法。
　　　　　　被测量Ｙ由测量仪器直接测得，测量结果y的不定度包含Ｎ个标准不确定度分量，且各分量相互独立不相关，合成标准不确定度 按(２５)式计算。
　　　　　　 (y)＝ 　　 　　　　　　　　　　　　　　　(２５)
　　　　Ｂ　间接测量
　　　　　　通过测量与被测量有函数关系的其他量，从而得到被测量值的一种测量方法称为间接测量法。
　　　　　　被测量Ｙ的测量结果y是通过测量各输入量后，由y=f( ， ，．．．， )的函数关系计算得到，测量结果y的合成标准不确定度 (y)按公式(２６)计算。公式(２６)通常称为不确定度传递率。
　　　　　　 (y)＝ (２６)
　　　　　　 ＝ . . 　　　　　　　　　　　 (２７)
　　　　　
　　　　式中： —输入量 的测量值；
　　　　　　　 —输入量 的测量值，且j i ；
— 的灵敏系数；
　　　　　　　 — 的灵敏系数；
　　　　　　　u( )— 的标准不确定度；
　　　　　　　u( )— 的标准不确定度；
　　　　　　　 — 、 协方差的估计值，j i；
　　　　 — 、 的相关系数估计值，j i。
(a)各输入量独立不相关时， 为０； (y)由公式(２８)计算。
　　　　 (y)＝ 　　　　　　　　 　　　　　　(２８)
　　　　式中 为被测量y的标准不确定度分量 (y)，因此，公式(２８)也可以表示成：
　　　　　 (y)＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　 (２９)
a) 被测量的函数形式为： ，合成标准不确定度 (y)用公式(３０)计算。
　 (y)＝ 　　　　　　　　　　　　　　 (３０)
b) 被测量的函数形式为：Ｙ＝Ａ 时，指数 是已知的正数或负数，其不确定度可忽略时，被测量的测量结果y的相对合成标准不确定度用公式(３１)计算。

　 (y)＝ ＝ (３１)
(b)各输入量之间相关时， (y)由公式(２６)计算；其输入量之间的协方差由公式(２７)计算。
　 估计相关系数可用下列方法之一得到：
　 输入量 和 中的一个可作常数处理时，相关系数为０；
　 设输入量 测量值为 ，输入量 测量值为 ，由同时观测得到的n对实验数据，按公式(３２)估计计算其相关系数估计值 。
＝ 　　　　　　　 　　　　　(３２)
　 所有输入量都相关，且估计相关系数 ＝１，则合成标准不确定度 (y)按公式(３３)计算。
　　
　　　　　 (y)＝ 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　(３３)
所有输入量都相关，且相关系数为１，当 ＝＋１，则测量结果的合成标准不确定度是每个输入量的标准不确定度u( )的代数和， (y)按公式(３４)计算。
　　
　　　　　 (y)＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (３４)
Ｃ　合成标准不确定度的自由度
合成标准不确定度 (y)的自由度称为有效自由 。如果 (y)是两个或多个估计方差分量的合成，即 (y)= ，则即使每个 是正态分布的输入量 的估计值时，变量 的分布是t分布，其有效自由度 可由韦尔奇—萨特思韦特(Welch —Satterthwaite)公式计算。
　　　 ＝ 　　　　　　　　　　　　　　 　　(３５)
式中：　　　 (y)＝ u( )
显然有：　　
式(３５)也可用于相对标准不确定度的合成，按式(３６)计算时有：
＝ ＝ 　　　　　　　　　　　　 　　(３６)
式中：pi=ci·xi ——无量纲化的灵敏系数
实际上，如果Ｙ＝ ＝ ，即使 的分布不是正态的，只要 (y)比由非正态分布的 的单个分量 ( )大得多。Ｙ的分布通常可以用正态分布近似。
由于自由度大多是估算的，有效自由度的估算也不必太过仔细，只需按式(３５)或式(３６)计算结果，以便于查t值表将自由度取整，如计算得有效自由度大于５０或大于１００，则有效自由度可估计为５０或１００即可。这样对扩展不确定度的最终结果也不会有太大的影响。
７　扩展不确定度的评定
　　扩展不确定度分为两种，即 和 前者具有概率的置信区间的半宽，后者为标准差的倍数。它们的含义不同，必要时应采用符号下标加以区别。
（１） 扩展不确定度 可按(３7)式计算：
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　(３7)
　　 由 乘以给定概率中的包含因子 得到，可以期望在 至 的区间内，以概率中包含了测量结果的可能性。
　　 与y的分布有关，当y接近正态分布时， 可采用t分布的临界值域简称t值，见附录A。
　　 可按置信概率Ｐ及有效自由度 查附录Ａ表得到，置信概率Ｐ一般采取９９％和９５％。多数情况下，采用Ｐ＝９５％。
　　对某些计量标准器具的检定或校准，根据有关规定可采用Ｐ＝９９％。
（2）扩展不确定度Ｕ可按(３8)式计算：
(３8)
上式表达式U由 乘以一个包含因子k得到，可以期望在y- U至y+ U的区间包含了测量结果可能值的较大部分。k值一般取2～3。
U虽然是没有明确置信概率的扩展不确定度，可以大致认为：
k=2，置信概率为95%；
k=3，置信概率为99%；
(3)如果可以确定Y可能值的分布不是正态分布，而是接近于其他某种分布，则不应按 ，或k＝２～３计算 或 。当输入量的项数较少，且某项特大，明显起主要作用，该项目 的可能值分布不是正态分布，可能近似为均匀分布，则可确定Y的可能值的分布也不是正态分布，而近似为均匀分布。这种情况下，包含因子 和 的关系如下：
　　
对于 ， ＝1.65
对于 ， ＝1.71

8.测量不确定度的报告与表示
当给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。
(1) 通常在报告基础计量学研究，基本物理常量测量及复现国际单位制单位和国际比对结果时，使用合成标准不确定度，同时给出有效自由度。
在其它大部分情况下，报告测量结果时，如实验室间能力比对试验、工业、商业，尤其涉及到安全、健康情况下报告测量结果时，均应同时报告扩展不确定度。
(2) 报告测量不确定度应尽可能详细，以使使用者可以正确地利用测量结果。
报告扩展不确定度U时，应同时报告包含因子k；
报告扩展不确定度 时，应同时报告包含因子 、 及P。
(3) 报告合成标准不确定度或扩展不确定度的有效位数最多为两位有效数字。在连续(中间)计算中为避免修约误差可保留多一些有效数字。最终报告不确定时，其末位后面的数有时可能采取进位而不是舍去。
对报告的测量结果，需将其修约至与其不确定度有效位数一致(即报告测量结果的有效数字末位与其不确定度的末位在“数位”上应一致)。
(４) 的报告常用以下两种形式之一：
　　　例如： =0.35mg，取包含因子k=2，Ｕ=2 0.35mg=70mg，则可有下面两种表示形式：
　　　Ａ　 =100.02147mg，Ｕ=0.70mg;k=2;
B =(100.0247 0.00078)g; k＝２;

(5) = 的报告常用以下两种形式之一。
　　　例如： =0.35mg， =10，取 ，查附录Ａ得 = =2.23，
=2.23 0.35mg=0.78mg,则常用下面两种表示形式。
　　　Ａ =100.02147mg, =0.78mg, =10 ；
B =(100.02147 0.00078)g, =10,P=0.95。
(６)测量不确定度也可以用相对形式报告
　　　 ， ， 。例如：
Ａ　 ＝100.02147(1 7.8 10 )g ,p=95%, =10。
　 式中

(６)测量不确定度也可以用相对形式报告
　　　 ， ， 。例如：
Ａ　 ＝100.02147(1 7.8 10 )g ,p=95%, =10。
　 式中7.8 10 为 值。
Ｂ　 =100.02147g.　 =7.9 10 , =10
(７)上述列举的表达形式中的符号含义，必要时(如出具证书)应有文字说明，也可采用它们的名称代替符号，或同时采用。



(注：以后陆续发表有关材料试验机示值误差校准结果测量不确定度评定的示例。)



附录A
t分布在不同置信概率P与自由度v的tp(v)值(t值)
自由度v p×100
68.27α 90 95 95.45α 99 99.73α
1 1.84 6.31 12.71 13.97 63.66 235.80
2 1.32 2.92 4.30 4.53 9.92 19.21
3 1.20 2.35 3.18 3.31 5.84 9.22
4 1.14 2.13 2.78 2.87 4.60 6.62
5 1.11 2.02 2.57 2.65 4.03 5.51

6 1.09 1.94 2.45 2.52 3.71 4.90
7 1.08 1.89 2.36 2.43 3.50 4.53
8 1.07 1.86 2.31 2.37 3.36 4.28
9 1.06 1.83 2.26 2.32 3.25 4.09
10 1.05 1.81 2.23 2.28 3.17 3.96

11 1.05 1.80 2.20 2.25 3.11 3.85
12 1.04 1.78 2.18 2.23 3.05 3.76
13 1.14 1.77 2.16 2.21 3.01 3.69
14 1.04 1.76 2.14 2.20 2.98 3.64
15 1.03 1.75 2.13 2.18 2.95 3.59

16 1.03 1.75 2.12 2.17 2.92 3.54
17 1.03 1.74 2.11 2.16 2.90 3.51
18 1.03 1.73 2.10 2.15 2.88 3.48
19 1.03 1.73 2.09 2.14 2.86 3.45
20 1.03 1.72 2.09 2.13 2.85 3.42

25 1.02 1.71 2.06 2.11 2.79 3.33
30 1.02 1.70 2.04 2.09 2.75 3.27
35 1.01 1.70 2.03 2.07 2.72 3.23
40 1.01 1.68 2.02 2.06 2.70 3.20
45 1.01 1.68 2.01 2.06 2.69 3.18

50 1.01 1.68 2.01 2.05 2.68 3.16
100 1.005 1.660 1.984 2.025 2.626 3.077
∞ 1.000 1.645 1.960 2.000 2.576 3.000
a. 对期望μ,总体标准σ的正态分布描述某量z，当k=1，2，3时，区间μ±kσ分别包含分布的68.27%，95.45%，99.73%。注：当自由度较小而又有较准确要求时，非整数的自由度可按以下两种方法之一，内插计算t值：1） 按非整v内插求tp(v)例：对v=6.5，P=0.9973，由tp(6)=4.90, tp(7)=4.53得： 2） 按非整v由v-1内插求tp(v)例：对v=6.5，P=0.9973，由tp(6)=4.90, tp(7)=4.53得：

公式没了:(