测量学水准仪

http://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2017/04/201704242300_02_2158849_3.jpg什么鬼---水准仪的泡泡没了，或者全是泡泡没水了---有人遇到这种情况不，厂家说寄水准仪过来，可是这面板这做工---似乎不好换吧，不能外接吧---

[align=center][b][font=微软雅黑, sans-serif][size=24px]令人目瞪口呆的测量学概念[/size][/font][/b][/align][align=center][font=宋体][size=19px]武汉大学 叶晓明[/size][/font][/align][size=18px][font=宋体][color=#333333] 在传统的经典测量理论中，精密度被定义为重复观测值或重复测得值相对于其数学期望的发散性。[/color][/font][font=宋体][color=#333333] 例如，武汉大学教科书《误差理论与测量平差基础》第[/color][/font][font='Times New Roman',serif][color=#333333]27[/color][/font][font=宋体][color=#333333]页之例[/color][/font][font='Times New Roman',serif][color=#333333]3-1[/color][/font][font=宋体][color=#333333]就这样表述：观测值[/color][/font][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]d[/color][/font][/i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]=23.4mm[/color][/font][font=宋体][color=#333333]，其标准偏差[/color][/font][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]σ[/color][/font][/i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]([i]d[/i])=0.2mm[/color][/font][font=宋体][color=#333333]；测得值[/color][/font][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]S[/color][/font][/i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]=11.7m, [/color][/font][font=宋体][color=#333333]其标准偏差[/color][/font][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]σ[/color][/font][/i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]([i]S[/i])=0.1m[/color][/font][font=宋体][color=#333333]。[/color][/font][font=宋体][color=#333333] 但是，做个简单的等量代换就能得到，这种数学表达实际给出了悖论式：[/color][/font][/size][align=center][size=18px][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]σ[/color][/font][/i][font='Times New Roman',serif][color=#333333](23.4)=0.2[/color][/font][font=宋体][color=#333333]和[/color][/font][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]σ[/color][/font][/i][font='Times New Roman',serif][color=#333333](11.7)=0.1[/color][/font][/size][/align][size=18px][font='Times New Roman',serif][color=#333333] 二个很明显的问题：[/color][/font][/size][size=18px][color=#333333][font=Times New Roman, serif] 1.[/font][font=宋体]数值[/font][/color][font='Times New Roman',serif][color=#333333]23.4[/color][/font][font=宋体][color=#333333]和[/color][/font][font='Times New Roman',serif][color=#333333]11.7[/color][/font][font=宋体][color=#333333]的标准偏差居然不是[/color][/font][font='Times New Roman',serif][color=#333333]0[/color][/font][font=宋体][color=#333333]，这违背了最基本的概率论概念[/color][/font][font='Times New Roman',serif][color=#333333]E([i]C[/i])=[i]C[/i][/color][/font][font=宋体][color=#333333]和[/color][/font][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]σ[/color][/font][/i][sup][font='Times New Roman',serif][color=#333333]2[/color][/font][/sup][font='Times New Roman',serif][color=#333333]([i]C[/i])=0，是些错误的数学表达式。[/color][/font][/size][size=18px][font=宋体][color=#333333] 2.数学表达式[/color][/font][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]σ[/color][/font][/i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]([i]d[/i])=0.2mm[/color][/font][font=宋体][color=#333333]和[/color][/font][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]σ[/color][/font][/i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]([i]S[/i])=0.1m[/color][/font][font=宋体][color=#333333]的实际含义分别是[/color][/font][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]σ[/color][/font][/i][font='Times New Roman',serif][color=#333333](23.4)=0.2[/color][/font][font=宋体][color=#333333]和[/color][/font][i][font='Times New Roman',serif][color=#333333]σ[/color][/font][/i][font='Times New Roman',serif][color=#333333](11.7)=0.1[/color][/font][font=宋体][color=#333333]，跟精密度的概念定义根本不是同一个意思，测量学教科书实际是在偷换概念地解释其含义。[/color][/font][/size][size=18px][font=宋体][color=#333333] 显然，要正确解释测量概念，我们得先澄清几个很浅显的数学概念：[/color][/font][font='Times New Roman',serif][color=#333333]23.4[/color][/font][font=宋体][color=#333333]和[/color][/font][font='Times New Roman',serif][color=#333333]11.7[/color][/font][font=宋体][color=#333333]究竟是[b]数值[/b]还是[b]变量[/b]？测得值（观测值）究竟是[b]数值[/b]还是[b]变量[/b]？什么是[b]变量[/b]的数学概念？[/color][/font][/size][font=宋体][size=18px][color=#333333] 所以，测量学家们，特别是武汉大学的测量学掌门人，赶紧回去重新翻阅数学教科书吧！不能继续以鸵鸟态度对待《学术建议书》[/color][/size][/font][font='Times New Roman',serif][size=18px][color=#333333][url]http://blog.sciencenet.cn/blog-630565-1238932.html[/url][/color][/size][/font][font=宋体][size=18px][color=#333333]了，学术态度比学术思想更重要，时间拖得越久则包袱越沉重。[/color][/size][/font][size=18px][font=宋体][color=#333333] 以错误的数学概念为逻辑出发点，所推理出的测量误差理论不可能正确。[/color][/font][font='Times New Roman',serif][color=#333333] 2021 10 6[/color][/font][font=宋体][color=#333333]于武汉大学[/color][/font][/size][align=center][size=18px][font=宋体][img=,690,151]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2021/10/202110061835006359_8287_2101846_3.jpg!w690x151.jpg[/img][/font][/size][/align][align=center][size=18px][font=宋体][img=,690,105]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2021/10/202110061835277670_7283_2101846_3.jpg!w690x105.jpg[/img][/font][/size][/align][align=center][size=18px][font=宋体][img=,690,920]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2021/10/202110061835557976_5904_2101846_3.jpg!w690x920.jpg[/img][/font][/size][/align][font=宋体][size=19px]参考文献：[/size][/font][font=宋体][size=16px][1] 叶晓明 等. 误差理论的新哲学观. [color=#ff0000][b]计量学报[/b][/color][b]，[/b]2015 Vol. 36 (6): 666-670[/size][/font][font=宋体][size=16px][2] 叶晓明 等. The new concepts of measurement error theory. [/size][/font][font=宋体][size=16px][color=#ff0000][b]Measurement[/b][/color][/size][/font][font=宋体][size=16px]， Volume 83, April 2016, Pages 96–105[/size][/font][font=宋体][size=16px][3] 叶晓明 等. The new concepts of measurement error‘s regularities and effect characteristics. [/size][/font][font=宋体][size=16px][color=#ff0000][b]Measurement[/b][/color][/size][/font][font=宋体][size=16px], Volume 126, October 2018, Pages 65–71[/size][/font][font=宋体][size=16px][4] 叶晓明等. Comparison of variance concepts interpreted by two measurement theories. [/size][/font][font=宋体][size=16px][color=#ff0000][b]Journal of Nonlinear and Convex Analysis[/b][/color][/size][/font][font=宋体][size=16px], Volume 20, Number 7, 2019, Pages 1307-1316.[/size][/font][font=宋体][size=16px][5]叶晓明等. A New Theoretical Interpretation of Measurement Error and Its Uncertainty. [/size][/font][font=宋体][size=16px][color=#ff0000][b]Discrete Dynamics in Nature and Society[/b][/color][/size][/font][font=宋体][size=16px], 2020.[/size][/font][font=宋体][size=16px][6]叶晓明等. Origin and Evolution of Conceptual Differences between Two Measurement Theories. [/size][/font][font=宋体][size=16px][color=#ff0000][b]Frontiers in Artificial Intelligence and Applications[/b][/color][/size][/font][font=宋体][size=16px], 2020[/size][/font][font=宋体][size=16px][7]叶晓明. 测量误差理论的真值中心论与测得值中心论. [/size][/font][font=宋体][size=16px][color=#ff0000][b]计量科学与技术[/b][/color][/size][/font][font=宋体][size=16px]，2021[/size][/font][font=宋体][size=16px][8]叶晓明. 《新概念测量误差理论》湖北科学技术出版社 2017 11[/size][/font]

[align=center][size=14px][b][font=黑体]开门篇：[/font][/b][/size][b][font=黑体]叶老师给您解析不一样的测量[/font][/b][/align]1.[font='Times New Roman'] [/font][font=黑体]什么是测量[/font][font=黑体]？[/font][font=宋体]自然界有许许多多的[/font][font=宋体]物理量，这些物理量在人类出现之前就已经客观存在。人类的科学文明和工业文明恰恰就是给这些物理量赋予数量值开始的[/font][font=宋体]。给物理量赋予数值的过程就是测量。[/font][font=宋体]譬如：中国厨师教导徒弟的通常用语是，取适量食材、温火加热至七成熟、食盐若干、味精少许等等，这些“适量”“温火”“七成”“若干”“少许”等皆为定性描述，不是定量描述，所以每个徒弟做出的效果通常皆不相同。反观遍布全球的麦当劳和肯德基门店，因为生产的各个环节的工艺参数都是严格定量掌握，其各个门店的味道几乎一模一样，其员工的培训也非常简单。定量化本身就是测量。[/font][font=宋体]特别说明，测量这个过程是指包括从物理量的定义开始、所有仪器制造校准以及当前的测量操作在内的全部过程，是一个全局过程。一个测量结果的形成是众多测量科技工作者共同劳动的结果。[/font]2.[font='Times New Roman'] [/font][font=黑体]什么是真值[/font][font=黑体]？[/font][font=宋体]人类在科学研究中发现各种物理量之间存在内在联系，于是通过定义把这些量之间的数学关系固定下来，譬如：通过万有引力常数把质量距离和力之间的关系固定下来、功率等于电流乘以电压等。通过定义各种物理量的单位而使得各种物理量形成完整统一的整体，这就是科学量制体系。[/font][font=宋体]因为物理量的定义已经约定，一个物理量与其定义相一致的数量值就是真值，即真实值或实际值。[/font][font=宋体]但真值的数值是未知的，正因为它未知，人们才需要测量。[/font]3.[font='Times New Roman'] [/font][font=黑体]什么是观测值和测得值？[/font][font=宋体]观测值是传感器或测量仪器的直接输出值，也叫原始观测值；测得值是通过对观测值进行数据加工处理而给出的用于描述被测物理量数量的最终数值。日常测量中，因为没有数据加工处理过程，观测值和测得值就是同一个东西，所以日常测量不需要对它们做区分。但在专业测量中，数据处理是必不可少的过程，最终提交的测得值和原始观测值不是同一个东西，所以这二者需要进行概念区分。[/font][font=宋体]【例】[/font][font=楷体]某商贩通过电子秤测量出某西瓜重量为5kg。这个5kg既是原始观测值，也是最终测得值。[/font][font=宋体]【例】[/font][font=楷体]相位式光电测距仪中，各个测尺的内外光路的各个周期的相位值是原始观测值，最终出现在显示屏上的距离值是最终测得值。[/font][font=宋体]【例】[/font][font=华文楷体]数字水准仪中，标尺图像的各个像素的灰度值是原始观测值，最终出现在仪器屏幕上的高度值、视距值是最终测得值。[/font][font=宋体]【例】[/font][font=楷体]测绘领域的水准测量中，从水准仪读取的各个测站的高度值、视距值是原始观测值，经过数据处理后给出的各个水准点高程值是最终测得值。[/font][font=宋体]观测值和测得值是相对数据处理过程而言的，一个是数据处理的输入值，一个是数据处理的输出值。[/font]4.[font='Times New Roman'] [/font][font=黑体]什么是测量误差[/font][font=黑体]？[/font][font=宋体]正因为真值未知，我们不能确保测得值与真值完全相等，测得值与真值之差就是误差。[/font][font=宋体]误差存在于每一个测得值或观测值之中，并能在实际测量应用中再次叠加累积。如果误差不能有效被管理，用不了多少年，我们的科学量制体系将崩溃，各种数据之间完全没有可比性，科学研究无法进行。所以，误差的第一个威胁就是我们的科学量制体系，维护科学量制体系的完整统一是测量的首要任务。正因为如此，人类成立了统一管理测量的国际性组织[/font][font=宋体]——[/font][font=宋体]国际计量局（[/font][font=Tahoma, sans-serif]BIPM[/font][font=宋体]）。[/font][font=宋体]当然，对误差进行有效管理也是我们工农业生产、经济生活领域的必须内容，否则各种矛盾也同样会层出不穷。[/font]5.[font='Times New Roman'] [/font][font=黑体]测量学理论的任务[/font][font=黑体]是什么？[/font][font=宋体]测量面临的问题是真值是未知值，因而误差也不可知。真值未知有三层含义：[/font][font=Tahoma, sans-serif]1[/font][font=宋体]、物理量的实际值（绝对没有误差）是客观唯一的，主观无法得到，主观给出的实际都是测得值。[/font][font=宋体]【例】[/font][font=楷体]无论采用何种仪器或手段（包括数学分析等数据处理手段），谁也测量不出圆周率的真值。[/font][font=宋体]就是说，自然界许许多多物理量的真值甚至可能是人类的数字所不能完整描述的，我们只能接近而不能达到。[/font][font=宋体]但定义本身除外，如：[/font][font=Tahoma, sans-serif]0[/font][font=宋体]值，圆周角[/font][font=Tahoma, sans-serif]360[/font][font=宋体]度等。[/font][font=Tahoma, sans-serif]2[/font][font=宋体]、并不排除人类的测得值和某个物理量的真值有正好碰巧完全绝对相等的时候，但这种情形即使出现了我们主观却不可能知道。[/font][font=Tahoma, sans-serif]3[/font][font=宋体]、如果真值都已经确定知道，那就不需要再去测量（以寻求真值为目的的测量）了。[/font][font=宋体]正因为真值无法获得，误差的数值就是未知数，所以测量误差理论的研究一开始就围绕着二大任务：[/font][font=Tahoma, sans-serif]1[/font][font=宋体]、测得值与真值接近程度的评价方法[/font][font=宋体]——[/font][font=宋体]误差评价方法。[/font][font=Tahoma, sans-serif]2[/font][font=宋体]、获得最佳测得值的数据处理方法。[/font][font=宋体]这里的最佳测得值当然应该是与真值最接近的测得值。但如果连测得值真实性评价问题都没有一个公认的评价方法，最佳测得值当然是无从谈起的。所以，二大任务中第一个任务才是根本。[/font]6.[font='Times New Roman'] [/font][font=黑体]误差评价的困境[/font][font=宋体]任何测量学科，无论仪器、计量还是测绘等，测量的目的都是为了追求测量真实，即追求测得值与真值接近。那么如何评价测得值的真实可靠度呢？如何对测得值的误差进行评价呢[/font]?[font=宋体]自然，人们首先都会想到，测得值误差小则真实可靠度高，反之，误差大则可靠度低。但是，误差的概念是测量值与真值的差异量，因为真值未知，误差最明显特质是未知性。如果已知真值就没有测量的必要，如果已知误差谁都会使其改正而获得真值。可见以误差的实际值来评价测得值的可靠度是一个悖论。[/font][font=宋体]可能有人会说，计量部门不是有用于仪器检验的真值吗？只要计量部门对仪器进行检验确保仪器的可靠性不就行了吗？[/font][font=宋体]这当然是过去比较普遍的思维认识，但这是片面的。问题是，计量检测部门的任务是对仪器误差进行测量，提交误差的测得值，但他们也不知道误差的真值，也没有谁给他们提供过任何其他物理量的真值。[/font][font=宋体]【例】[/font][font=楷体]米长的真值——国际计量大会只是给出了一个米长定义而从未给任何国家提供过米长的实体。[/font][font=宋体]其实和所有测量学科一样，计量部门的真值仍然是通过测量而得到的[/font][font=宋体]，目前计量界用于检验误差的许多所谓真值或基准实际都是具有误差的测得值或仪器[/font][font=宋体]。[/font][font=宋体]【例】[/font][font=楷体]我国计量部门用于给光电测距仪做计量检验的长度基线场基本都是由我国的测绘部门——国测一大队实施丈量的，这些基线的所谓真值实际是测绘部门的测得值；而丈量基线所使用的铟钢尺又是由仪器厂商制造、通过计量部门检定了的，而计量部门用于检验铟钢尺的标准仪器还是由仪器厂商制造……。[/font][font=宋体]就是说，计量部门以某些所谓的真值或仪器为基准对被检仪器的误差进行检测和其他测量领域用仪器为基准对物理量进行测量是同一回事。如果认为计量检测部门的真值或标准仪器的误差可以忽略，那么其他测量部门也同样可以说其所使用的仪器的误差可以忽略，关键是这种“可以忽略”说法的凭据是什么？[/font]——[font=宋体]最终还是落脚在未知误差的大小程度的评价问题上来了。[/font][font=宋体]事实也是如此，无论在计量标准器的建立上，还是在计量标准规范的编制上，包括测绘学、仪器学在内的其他所有测量学科，事实上都已经扮演了重要的角色，本来就都是计量活动的直接参与者，一个完全独立于测绘、仪器等学科之外的孤立的有真值的计量学科根本就不存在。这就提示我们，在我们讨论测量理论的时候，应该建立一个广阔的视角，把所有的测量学科看成一个整体。[/font][font=宋体]既然计量部门的所谓真值也是由测量而得来，他们的所谓的真值原来也是一个测得值，是一个可靠度更高的测得值而已。那么，如何在没有绝对真值的情况下评价测得值的真实可靠度呢？“可靠度更高的测得值”的判断是依据什么指标得出来的呢？如何评价测绘部门提供的长度基线的可靠度呢？为什么要用基线场检验测距仪而不能用测距仪检验基线场呢？各种各样的不同可靠性等级的真值的排序依据又是什么呢？究竟应该以什么指标作为衡量测量可靠性的依据呢？[/font][font=宋体]正因为如此，测量误差评价才成为测量学的一个基本理论问题，而且显然应该是一个统一的理论体系。[/font][font=宋体]目前，在[/font][font=宋体]《[/font][font=宋体]国际通用计量学基本术语（VIM）》[/font][font=宋体]中，涉及测量误差评价的概念有很多，有精度（精密度）、准确度（正确度）、精确度（准确度）、不确定度、限差、最大允许误差（[/font]MPE[font=宋体]）等。如此繁多混杂的概念几乎让人晕头转向，以至于人们常常各说各话，争执不休。[/font]7.[font='Times New Roman'] [/font][font=黑体]测量理论的现状[/font][font=宋体]因为真值和误差都是未知数，人们将概率论应用到测量理论的解释中，寄希望用概率的方法对误差做出评价。但因为人们又注意到重复测量（试验）中测得值是随机变化的而真值是恒定的，所以人们把测得值看作是随机变量而把真值看作是常数，于是诞生了误差分类学说，所谓有精度、准确度、精确度等就是这一理论体系的核心概念。一直以来，基本没有人怀疑过这一概念逻辑体系的数学严密性。[/font]8.[font='Times New Roman'] [/font][font=黑体]测量理论的最新进展[/font]20[font=宋体]年前的[/font]2000[font=宋体]年，叶老师发现了一种日本产全站仪都存在一种特别规律的非原理性误差，属于人为误差，经研究判定这是机载软件设计错误所导致，存在于轴系补偿功能模块之中，于是汇报于国家质量技术监督局。但国家质监局所委托的鉴定机构最终给出的结论是，该误差属于有规律的系统误差，仪器仍然属于高精度合格仪器。这是当年轰动一时的国际新闻[/font][font=宋体]。[/font][font=宋体]叶老师意识到这一调查结论来自于传统测量理论中系统误差不影响精度（精密度）的概念教条。[/font][font=宋体]但是，[/font][font=宋体]叶老师[/font][font=宋体]又很清楚地知道，这一误差实际上是影响导线网的测量精度的，这个概念教条与实践不符。于是，这就开启了一个长达[/font]20[font=宋体]年的对传统测量理论概念逻辑问题的追根溯源和对新概念测量理论解释方法的探索历程。[/font][font=宋体]现在，已经查明，问题的真正根源就在于，传统测量理论对常数和随机变量的解释跟概率论概念不一致，以致于传统测量理论的整个误差分类概念逻辑体系存在系统性的问题。[/font][font=宋体]与传统测量理论完全不同，新概念测量理论认为，测得值和观测值都是数值，属于概率论中的常数，而误差和真值才是需要用概率范围描述的随机变量。于是，新概念测量理论基于误差无类别的认识而展开，系统误差、随机误差、精度、准确度、精确度等误差分类概念就被完全废弃了。[/font][font=宋体]现在，这些学术批判和新概念理论解释已经发表于[/font]7[font=宋体]个国际国内的知名期刊中，其中[/font]4[font=宋体]篇[/font]SCI[font=宋体]论文（英文）、[/font]1[font=宋体]篇[/font]EI[font=宋体]论文（英文）和[/font]2[font=宋体]篇中文核心期刊论文。因为涉及到对传统测量概念的批判，这些论文的发表自然比较艰难，耗时巨大。[/font][font=宋体]和科学史上任何一次理论变革一样，基于认知能力、情感、自身利益等多方面的因素，新的理论思想总是要不同程度受到传统势力的阻扰，新概念测量理论当然也遭受到了同样的待遇。目前，个别当权者不惜违背教育伦理、以滥用职权的手段来阻止这一新的理论思想向学生传播，并拒绝讨论教学内容的更新问题，其私心不言自明。[/font][font=宋体]所以，叶老师有责任尽最大努力把新的测量理论思想传播出去，让学生尽早知道自己是在被灌输错误的数学概念，让学生尽早接受正确的理论思想。否则，以讹传讹，以错教错，代代相传，那将永远没完没了。[/font][font=宋体]——[/font][font=宋体]这也就是开立这一微信公众号的初衷，叶老师将在这里完整解析新概念测量理论的概念逻辑与应用。也所以，无论您是否从事测量行业，叶老师也拜请您关注和宣传本公众号，我们每个人的绵薄之力也能形成维护学术公德的强大力量，善举终还福报。[/font] 20213 20[font=宋体]于武汉大学[/font][font=宋体][/font][font=宋体]欢迎关注公众号《测量理论研究》[img=,258,258]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2021/03/202103221554215390_5986_2101846_3.jpg!w258x258.jpg[/img][/font][font=宋体]和微信视频号《仪器匠》[img=,282,284]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2021/03/202103222141222047_1308_2101846_3.png!w282x284.jpg[/img][/font]

科学网精选科普杂文[align=center]什么是“相同测量条件下重复测量”？[/align][align=center]武汉大学 叶晓明[/align] 概率论中的一个基本思维是，以大量彼此独立的随机事件的统计值去评价其中一个未知事件的概率。而测量理论则是概率论在测量领域里的一个应用。 既然是“大量彼此独立的随机事件”，这就意味着这些事件一定来自于不同条件，所以概率论中绝对没有什么“相同条件”字眼，否则，如果强调各个事件来自于相同条件，各个事件样本就完全相关，就等同于对一个事件做重复统计，那自然不是100%就是0%。但是，现有测量理论却以“相同测量条件下重复测量”作为误差类别的鉴别依据。 近年来，作者在新概念测量理论中强调，测量序列发散来自重复测量中的测量条件变化，如果以“相同测量条件下重复测量”，测量序列将不会发散，测量实践中不可能作到绝对的相同测量条件。但是，一个比较普遍的情况是，测量学家们强调“设定‘相同测量条件下重复测量’前提是个为了便于误差分类”，当我的论文证明那些实践中的重复测量实际都是不同测量条件时，他们会说我所指的不同测量条件“实际等同于现有理论中的相同测量条件，相同测量条件只是一种近似说法，不需要绝对化。”而非常奇怪的是，他们一方面非常强调要把某些不同条件近似地说成相同条件，却又另一方面禁止把某些不同条件近似说成为相同条件，而且非常反感将“相同条件”字眼更换成“不同条件”字眼。 看实际案例吧。 一台经纬仪的轴系误差的MPE（最大允许误差），来自大量不同仪器的轴系误差检测样本的统计。但是，经纬仪的轴系误差要归类为系统误差，这个不同仪器条件不能近似地说成相同条件，因为不能承认轴系误差在相同测量条件下能导致离散。 一台经纬仪的测角标准偏差，来自大量不同盘位的测点的样本统计，因为这个标准偏差属于精度（精密度，随机误差），这个不同盘位条件就需要近似地说成相同条件。 一台水准仪的高差误差的标准偏差的检测过程中，需要反复改变仪器架设高度和重新整平进行样本采样，也是来自不同条件，但因为这个检测值也叫精度（精密度），属于随机误差的范畴，这些不同的测量条件也就需要近似地说成为相同的测量条件。测绘领域水准网平差中精度来自不同路线高差观测值的发散性统计，因为属于精度（随机误差），这个不同的路线条件需要近似说成相同测量条件。 一种测距仪的乘常数误差来自仪器内石英晶体频率的误差，该误差的MPE来自大量仪器在各种不同温度条件下的样本统计，但是，测距仪的乘常数误差需要归类为系统误差，这些不同条件不能近似说成相同测量条件。 一台测距仪的综合精度的检测样本来自大量不同距离量程的样本统计，因为属于精度（随机误差），这个不同距离量程条件需要近似说成相同测量条件。 一台相位式测距仪的周期误差是距离的正弦函数规律，当误差样本来自各种不同距离量程时，很容易推证出周期误差遵循一个U形随机分布。但是，周期误差被看作是系统误差，这个不同距离量程条件就不能近似说成相同测量条件。舍入误差（四舍五入），通过任意不同量程的误差值分析，很容易推证出它遵循矩形分布。由于这个误差被看作是随机误差，所以这个不同量程条件需要近似说成相同测量条件。 电子噪声误差的分布来自大量不同时间获得的误差样本的统计，这个误差需要归类为随机误差，所以这个不同时间条件需要近似说成相同测量条件。 某卡尺的MPE为±0.02mm，这实际是大量同型号卡尺、各种不同的量程在可能的各种环境温度下的误差检测值做统计出来的。这些不同测量条件究竟应该说成相同测量条件还是不能说成相同测量条件，反正我是说不清楚了。 某品牌手表的MPE为±15秒/天，这实际是大量同品牌手表在各种不同温度环境的检测值统计出来的。这些不同测量条件究竟应该近似地说成相同测量条件还是不能说成相同测量条件，我还是说不清楚。 …… 瞧这个逻辑乱的，您能归纳出其中区分相同条件和不同条件的奥妙之处吗？相信您现在肯定一头雾水。其实，其中也根本没有什么奥妙---不过是人的主观喜好而已，目的只是为了强行把某些误差归类为系统误差而把另外某些误差归类为随机误差。但相信您已经看出，那些所谓的相同测量条件没有一个属于真正的相同测量条件；而当真正作到相同测量条件重复测量时，没有一个误差能导致发散；而当让与误差相关的测量条件变化时，所有误差（包括各种规律的误差）却又都能导致发散，表现出随机分布。 所以，相信您已经有所理解：所谓误差分类不过是选择性失明而已，需要随机误差时，就把不同条件近似地说成相同条件；需要系统误差时，就咬定严格的相同条件对一个误差做重复统计。 也相信您也感受到了新概念测量理论的一个核心概念：任何误差其实都遵循随机分布，都有方差表达其概率区间（不确定性），没有什么系统/随机类别，没有什么精密度/正确度的概念区分，误差贡献发散（随机影响）或贡献偏离（系统影响）是重复测量中测量条件的变化规则决定的，是测量原理决定的，仪器内外的所有工作状态都是测量条件。 这里举出了这么多案例，当然还可以举更多，可以看到，每个案例中的误差统计实际都是在不同测量条件下进行。这说明了什么？说明那些工作在生产科研第一线的测量工作者们其实都很清楚明白，从来就没有人蠢到用“相同测量条件”去纠缠一个孤立的误差样本做重复统计----这本来就不是一个高深的理论问题。真不知道那些测量理论工作者是怎么想的，当你明确告知是不同测量条件时，他们还要扯“近似说法”，死不认账。 就这么一个“相同测量条件下重复测量”，相同既是相同也是不同，不同既是不同也是相同，进可攻退可守，刀枪不入，顺我者昌，逆我者衰。于是，精度也是“相同测量条件下重复测量”测得值的发散性，不确定度也是“相同测量条件下重复测量”测得值的发散性。人们念念有词，如醉如痴…… 2019 6 8 于武汉大学[align=center][img=,690,413]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/06/201906091241043452_1384_2101846_3.png!w690x413.jpg[/img][/align]

[align=center][b][color=#1d24d9]复数与复数测量学问录[/color][/b][/align][align=center][color=#77c94b]原创：大陆*[/color][/align][align=center][color=#77c94b]2019-07-30[/color][/align][align=left]۞ 本文拟于9月初向正式的科普媒体投稿，由于作者学识有限，错漏在所难免，为了让读者能准确的获得真知或刷新原有的认知，恳请各位在8月份不吝反馈批评指正，用邮件或其他方式。[/align][align=left]*笔者为中科院物理所的科学工程师，研发兴趣为：弱磁、锁相、拓扑电路。通讯电邮Email: [email=lujun@iphy.ac.cn][color=#003884]lujun@iphy.ac.cn[/color][/email][/align][align=left][color=#528cd8]0、引言[/color][/align][align=left]万物皆数，自然界不同层次事物的演变生死及相互关联，以当代人来看，选用复数进行描述不仅简洁而且自然。比如同时包含电阻R与电感L或电容C的交流电路中(驱动角频率设为ω)，电流波形与电压波形之间的换算不用针对L或C进行复杂的微积分运算，而只需通过虚数单位j(电工学中的习惯，以区分电流标识，实际上跟数学中公知的虚数单位i等同)，就可以将jωL与R复合加减成复阻抗或将jωC与1/R复合加减成复导纳，而阻抗与导纳的计算，除了运算规则复数化，跟电阻与电导操作一样，利用串并联等规则分析计算没有差异。为什么虚数单位的引入如此神奇的将复杂电路问题化繁为简？我们所享受的这种简洁与便利是怎样被发展出来的？如此美妙的纯粹的数学跟现实物理世界的对应关系是怎样建立的？如此神奇的刻画世界理解世界的工具对于普通人的生活有没有什么启示性的联系？这些问题实际上也是笔者本人多年来在复数测量相关的职业工作与对生活不停地观察和思考的对象。碰巧在今年儿童节那天，给一位受人尊敬的仪器维修工程师70岁寿辰庆祝，会议上笔者对自己关于复数和复数测量学问做了口头的总结交流。本文是对复数和复数测量学问的文字版总结。以下各章分别对这些问题进行分析讨论，给出笔者自己理解总结的结果。因为主要内容是笔者思考总结所原创的文字，本文跟复数教科书之间的关系大致，希望是：看完此文想再学复数，学过复数欲回看此文。[/align][align=left][color=#528cd8]1、什么是复数？[/color][/align][align=left]经过了零、负数和无理数的引入，人类对数的认识从自然数逐渐延拓发展到实数，基本完成了数轴上的点和对自然数进行有限或无限次加减乘除组合运算结果之间的完整且不重复的对应关系，然而，在求解二次或三次方程根等问题的道路上，随着负数的平方根并不对应某个实数这个新情况，一开始被人们当做不自然的东西直接抛弃不管，现在我们看来是实数存在开方运算不能自我封闭的缺陷，后来通过对-1平方根(通常被记作i)为虚数单位的重新定义，将数的概念从基本实数拓展到一实一虚的数对构成的复数，终于完成了加减乘除乘方开方及其有限与无限混合运算结果的封闭定义。关于数的概念逐步扩展，汇总如图1所示，其中列出人类对数的概念认知具有里程碑意义的几个特殊数包括1、0、-1、π、e、与刚提到的i，很多人对圆周率π从小学就开始接触故耳熟能详到小数点后6位以上无需再解释，而其中自然底数e=2.71828...为什么特殊，稍微提一下，它的特殊之处在于以它为底的指数函数y=e^x在任意点x*的变化率或斜率与函数曲线从负无穷到x*覆盖的区间面积数值相等，而且都等于该点函数值y*=e^x*=y'*=Y* (y'*与Y*分别表示y的微分与不定积分函数在x*点的数值)。大数学家欧拉发现，e还有一个神奇之处在于以iθ作为指数时能实现指数运算跟正弦余弦三角函数运算之间的转换e^iθ=cosθ+isinθ，这对于复数的乘除与开方运算简直如虎添翼，不仅根治了复数运算复杂的毛病，而且在有些时候能帮助实代数运算化繁为简(感兴趣的读者可以搜索利用棣莫弗公式证明复杂多倍角正余弦三角函数公式)。一般意义上的复数的实部+虚部、与幅值与幅角表达的含义及其转换关系如图2所示。值得一提的是当θ=π时，我们能获得大多数同行都认可在人类历史上最优美同时内涵最丰富且高度概括了人类智慧的一个数学公式e^iπ+1=0。[/align][align=center][img=,524,414]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300905285534_8278_1611921_3.png!w524x414.jpg[/img][/align][align=center]图1 从自然数到复数的逐步延拓过程图示[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/755080a1a94a449299735f82ce43137a/clipboard.png[/img][img=,474,392]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300905412306_4389_1611921_3.png!w474x392.jpg[/img][/align][align=center]图2 复数构成的代数与几何图示[/align][align=left]复数的加法与指数表达之间的等效换算关系如图3所示，关于更多更全面的复数计算及复变函数介绍请参考专门的复数教科书，在这里需要指出的一点是，有些作者可能是图省事，在实部虚部求幅角的时候简单但错误的表达成b/a的反正切，这种简单不仅错在a的数值为0时非常尴尬，更在于反正切的函数范围只在第一与第四象限，当复数位于第二或第三象限时将不可避免出现往第一第四象限折叠的问题。正确的做法是对实部、虚部的符号做分类处理，即需要双参数输入函数，在多种编程语言中已经有现成的函数模块可供调用，比如脚本语言中一般支持atan2函数，它支持双参数输入并能输出完整四象限角度，图形语言比如LabView中直接有实部虚部到幅度幅角的转换函数。还有一点值得一提，虽然实部虚部与极坐标表示之间能够相互换算，但严格来讲二者并不完全等价。关键在原点处，实部虚部定义0+i0很自然，不过极坐标表示就没有确定的相位角，尽管编程语言的中通常将原点的相位角置零，运用的人要清楚这个细微但却是本质的差异。不管怎样，读者看过本文以后如再碰到文章或教科书中直接将b/a的反正切作为复数的相位角，完全有理由直接怀疑其作者对复数的理解与认知水平。[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/678b0e06196442f4acaa983638932aaf/clipboard.png[/img][img=,627,298]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300906040178_7178_1611921_3.png!w627x298.jpg[/img][/align][align=center]图3 复数两种基本表示方法之间的等价换算[/align][align=left]实数运算拓展到复数运算因为产生新的现象，不能完全受实数运算中的规则束缚，有些在实数中的常识，在复数运算处理时可能并不适用要引起注意，这里举例讲复数乘方运算中的一条反常识之处：复数乘方运算稍不注意就会引起自相矛盾的悖论，如图4所示，据记载最初由放牛娃出身的克劳森于1827年提出。克劳森悖论实际上不是复数的问题，而是在复数乘方运算过程中，复底数的相位求取是多值化的，跟乘方运算的指数相乘的相位应当为相位主值加上2πk(k为整数)。如图5所示的两个乘方运算结果举例，i^i等于一系列实数，其中k=0时相位主值对应的值为e^(-π/2)，一个约等于0.2的无理数；另一个例子，1^i根据实数乘方运算常识1的所有次方总等于1，但这里1只是其结果之一，因为1^i除了在k=0时等于1以外，还对应其他无穷个结果。当然，复数运算中也有人类迄今尚未理解的难题，比如让人着迷却仍然不得其解的黎曼猜想，由于已经超过本文的讨论范围，感兴趣的读者请自己去检索。[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/77725a68901f4451b95917b56421c434/clipboard.png[/img][img=,487,608]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300906153020_4506_1611921_3.png!w487x608.jpg[/img][/align][align=center]图4 克劳森(Thomas Clausen)提出的复指数悖论问题[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/06c7a58275b7449da52e047f49acf45b/clipboard.png[/img][img=,351,173]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300906335239_7123_1611921_3.png!w351x173.jpg[/img][/align][align=center]图5 虚指数的多值性示例[/align][align=left]至此，复数的基本概念及运算规则已经介绍结束。然而，不得不承认，复数是怎样被发展出来的，前面的介绍只是过于简单的版本，跟真实的人类认识与应用复数的历史出入比较大，如果要我对于历史这段不严谨的介绍给一个借口，那无非是为了节约读者的宝贵时间，而且这个介绍丝毫不影响复数是什么这一知识的获取。如果只重知识，不管真实，可以跳过本段去直接阅读下一章。但凡是对真实有点兴趣的读者，建议耐心看完本段文字与汇总本段的图6。笔者认为，知道真实的知识产生的过程，不仅仅能让我们珍惜自己轻松就学到的知识，也让我们意识到我们学到的知识并非人类知识的终点，进而让自己的内心被薪火相传，并获得进一步去创新从而延伸人类知识的动力。参考图6，这是一个以千年的时间尺度通过关键事件节点(what/when/who)依次串联来描述我们人类认识与应用复数的过程，事件涉及到的时间与人物的原始数据部分来源于Nahin博士的书与数学手册，为了读者能更好的理解这个进展过程，笔者将这些事件分成几类进行介绍：[/align][align=left](1)奠基。[/align][align=left]复数的最初渊源从代数与几何的方向分别可追溯到公元300年由丢番图Diophantus整理编写的《Arithmetica》(算术)，与公元888年由欧几里得Euclid编写的《Elements》(几何原本)。[/align][align=left](2)铺垫。[/align][align=left]1545年卡尔达诺Cardano在《Ars Magna》(大衍术)中系统进行了负数及运算的论述，首次公开负数的平方根数的概念；1637年笛卡尔Descartes在《La Geometrie》(几何学)中公开了a+ib解析法处理复数；韦塞尔Wessel于1797年公开虚实轴组成复平面处理矢量的思想；柯西Cauchy在1814年公开复函数可微条件，拉开了复变函数的微积分学；洛朗(Laurent)于1843年公开了复变函数独有的一套级数思想与零点与极点处理方法，引入留数(洛朗级数的一次倒数项系数)；1807年傅里叶Fourier公开倍频但幅度稳定的正弦余弦分别作为虚部实部的级数来进行函数的分解；1785年拉普拉斯引入一套复指数变换方法，研究失稳过程有时非他不可。[/align][align=left](3)[color=#df402a]点睛[/color]。[/align][align=left]前面提过的欧拉恒等式是[color=#df402a]欧拉Euler[/color]在1748年公开证明，没有欧拉，这个恒等式也许会被引入，但不知道要迟好多年；一向谨慎低调的数学王子[color=#df402a]高斯Gauss[/color]在1813年终于公开确立复平面的历史地位，复数的全面推广从此正式开始；[color=#df402a]闵可夫斯基Minkowski[/color]于1907年公布通过虚数单位和光速跟时间相乘，三维空间复合，引入四维时空，证明了时空相对变化中的绝对不变；[color=#df402a]薛定谔Schrodinger[/color]在1926年提出闻名于世的电子波动力学方程，尽管原文Phys. Rev., 28, 1049(1926)中没有直白的写出他去世后在墓碑上刻着带虚数单位的模样(如图4中1926事件块中所列)，但在原文第9部分对含时波函数中出现虚数单位与相位±2πEt/h，足够表达波函数在特定能量下的振荡性质，并启发后人理解量子力学的奥妙。[/align][align=left](4)[color=#0d14d2]发扬[/color]。[/align][align=left]首先不得不提[color=#0d14d2]黎曼Riemann[/color]，尽管40岁就英年早逝，但在他短暂的一生中，除了前面提到的黎曼猜想，他与柯西一样都对复分析作出重要贡献，而且比柯西更加富有创造性的从微分几何角度开展复分析，并首次往人类数理知识库中引入非欧几何，这对20世纪广义相对论与弦论的诞生提供了良好的铺垫。[/align][align=left][color=#0d14d2]狄拉克Dirac[/color]对量子力学波函数进行了相对论性改造，其中关键的一步是将哈密顿算符变成4x4的复矩阵，利用矩阵具有反对易性质调和了时间与空间平方反对称与一阶微分对等之间的矛盾，让经过改造后的波函数的第四分量非常好的对应解释电子1/2自旋，并预言了正电子的存在，极大地推动了量子力学的发展。[/align][align=left][color=#0e15cb]外尔Weyl[/color]在统一电磁场与引力场构建伟大的规范不变理论的过程中，至关重要的一步是，找到跟电荷守恒相对应的对称性是复波函数的相位不变性，该相位不变规律在电磁学中可以推导出麦克斯韦方程组，是电磁相互作用理论的终极基石。[/align][align=left][color=#1e2cd5]杨振宁C.N. Yang[/color]经过艰苦卓绝的群论推演，论证微观世界基本粒子的构建规则用3x3的复矩阵运算刚好可以解决，从而准确解释或预测出全部微观基本粒子的种类及相互作用，杨先生引入被称为标准模型的理论实现了除引力外所有已知基本力的伟大统一，顺便一提，在2000年杨先生回顾20世纪物理学三大主旋律为：量子、对称、与相位因子。[/align][align=left](5)遗憾。[/align][align=left]在复数的发展过程中，从二元复数到多元复矩阵的过程中，代数学上还经历过三元数、四元数、乃至八元数的尝试，其中最著名的要数哈密顿Hamilton创立的四元数quaternion，遗憾的是，多元复数的代数运算简洁程度与效果比不上2x2与4x4复矩阵，从而在20世纪物理学发展的大舞台上并没有获得哈密顿本人预期的实用，尽管在比较小的学科分支上也有独到的应用，比如将四元数的模设成1时可以用于描述三维空间旋转，空间导航时相比通常的欧拉角方法有更小的误差与较高稳定性。当然，形式上将1ijk换成2x2复矩阵组并不影响实质上的大同小异，从这个意义上讲，形式上未被重视不应该掩盖哈密顿的超复数思想与逻辑的伟大。[/align][align=left]除此以外，19世纪中叶，复数的概念已经被数学主流认可并应用的时候，逻辑代数创始人布尔Boole却坚持认为虚数单位是不可解释的符号，这有点让当代人难以理解，不过二值比特逻辑有其自身的优势及发展之路，虚数在数值逻辑中的确不必要，或许在未来某天模拟计算与数值计算平分秋色之时，复数在计算机架构中的重要性将不言而喻。[/align][align=left]还有，麦克斯韦Maxwell在他1865年“A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”论文中，未见使用虚数，子方程数达20个之多，后来多亏Oliver Heaviside与Willard Gibbs运用矢量分析进行大幅度改造才使得麦克斯韦方程组成型到容易理解的闻名于世的四个子方程形式，当然瑕不掩瑜，麦克斯韦的这篇论文在电磁规律综合并牢固确立场的概念、引入位移电流、同时通过波速证明电磁波是光这几个方面的贡献是划时代的。[/align][align=left](6)插曲。[/align][align=left]我们知道，负数是虚数之源，虚数的引入必须以负数为前提，但不知因何原因，古代中国引入并运用负数非常自然，而西方正式接受负数比中国晚约1700年，不过西方在接受负数后随即就开启了虚数的研究，而中国人对虚数的发展未见任何实质性的贡献，只是由《数书九章》中秦九韶提出的二次、三次及高次方程求解算法可见他是中国古人中距离虚数发现最近的人，而且更加难能可贵的是，《数书九章》是《几何原本》与《大衍术》之间约600年间地球上数一的数学著作。[/align][align=left]还有一则，在欧拉恒等式被引入之前，复数的计算通常需要高超的数学技巧，比如约翰-佰努利运用(x+i)(x-i)=1+x^2的技巧找到了反正切与对数函数之间的内在联系，并运用于虚数因子分解积分，被莱布尼茨Leibniz评价为非凡智能的一个优美神奇。[/align][align=left](7)可期。[/align][align=left]跟其他人类知识体系一样，复数发展至今不应是终点，未来有更重要的发展事件也是可期的。我们知道以复数波函数为主要特征的量子力学样样都好，屡次都被证明是正确的，至今也还没有发现被实验结果证否的事件，但就是推不出引力方程，让人隐忧哪里有些不对，实现大统一或证明大统一是不可能实现的幻想的突破性的事件，让我们努力使它在我们有生之年发生。[/align][align=left][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/81743807dce54190b8b65abe0981580a/clipboard.png[/img][img=,690,388]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300906503646_4888_1611921_3.png!w690x388.jpg[/img][/align][align=center]图6 以千年尺度汇总显示人类认识与应用复数的历史进程[/align][align=left][color=#528cd8]2、如何测量复数？[/color][/align][align=left]尽管复数及其重要性广为人知，但也不可否认，复数测量长期以来只是一个小众的主题，笔者曾经在南京大学一个网络课程中听主讲老师竟随口说出一句复数还不能被测量，也许该老师的表述有笔者没有留意到的小语境，但侧面反映出了解复数测量的群体远小于了解复数的群体这个事实。还有很多同行每天都在使用在信号或波函数层次实质上都是复数测量的仪器，比如频谱仪、阻抗分析仪、介电分析仪、矢量网络分析仪、交流磁化率仪、交流电压表等等，但由于被测物理量或仪器名称上不容易看出是在进行复数测量，导致复数测量本身很少被人关注。[/align][align=left]真实世界中的复数测量通常不是直接有一副如图2一样的抽象坐标轴平面让人用尺去度量，而是隐藏在变化的波函数中，比如随时间变化的交流信号或随空间变化而起伏波形，时域的频率或空域的波数可以千差万别，对应的复数测量实部虚部结果也许会一样，但这两个复数在物理世界能相提并论的前提条件必须是“在同一条船上”，这个话题在下一章将被展开讨论。[/align][align=left]与其他测量手段需要诸如光子、电子、中子等探针才能看到跟探针相当的结构信息类似，复数测量波函数一般也使用复数“探针”，一个跟被测波函数步调一致的参考波函数，如图7所示参考信号reference signal被稳频后的灰线所承载。为了同时获得实部与虚部，参考信号通过相位稳定部件分成相位差成对锁定成90度的在蓝线中的余弦信号与浅蓝色的正弦信号，他们分别通过相敏检波部件phase sensitive detector，实际上是二入一出的乘法部件，跟红色标识的需要测量信号分别相乘后输出经过低通滤波获得被测信号跟参考信号频点ω0一致的实部与虚部，分别如绿色与浅绿色线所示，从而完成复数测量过程。在信号强度不够的情况下，当然还可以选取辅助的前端或后置放大。由傅里叶级数规则，同频的正弦与余弦信号正交(正交意味着二者经过乘法和低通滤波部件后的输出为零)，于是实部和虚部测量结果之间在原理上保持相互独立，同时被测信号中所有ω0的2、3、4……倍频率的正弦与余弦分量跟前述ω0频点的正弦与余弦之间彼此正交，故而复数整个测量过程实质上是一个只检出ω0频点实部与虚部的窄带滤波过程，其他频段信号自动被作为干扰被消除。[/align][align=left]由测量原理看出ω0频点的稳定极为重要，在普通的振荡源的频率稳定性不够的时候，需要增加锁相环phase lock loop (PLL)部件，其结构如图8所示，在强制外部参考的模式下，受控振荡源为了和外部频点保持一致，需要实时测量跟外部参考信号的相位差并进行自我调整，通过相位差的锁定来维持测量频点的稳定。因而这种复数测量方法与工具通常被称之为锁相技术与锁相放大器lock in amplifiers。[/align][align=left]如此可见，用锁相技术实现复数测量的关键在[color=#1d24e1]交流变化维度的锁相环跟踪[/color]与[color=#1d24e1]实部虚部的正交相敏检波测量[/color]，更多的专业介绍请参考文献。这里对锁相的含义，为让普通外行人能更好理解这个复数测量的强大工具，做一点延伸解读：锁相，跟成语相夫教子中的作为动词的“相”含义默契，夫妇之间的关系实际上是一个长期的相位和步调通过锁定达到美满的境界，如果失锁就比较麻烦了。此外，锁相环这种自动保持稳定步调但又具备一定的随外界环境而自我调节能力的神奇部件，何尝不是一个原始态的机器心灵？[/align][align=center][/align][align=center][img=,456,317]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300907264172_2846_1611921_3.png!w456x317.jpg[/img][/align][align=center]图7 锁相放大器测量原理示意图[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/2b3ef4cb6dd241309a9084e4fad8619c/clipboard.png[/img][img=,608,198]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300907385213_1293_1611921_3.png!w608x198.jpg[/img][/align][align=center]图8 锁相环结构图示[/align][align=left][color=#528cd8]3、复数测量新方法？[/color][/align][align=left]十五年前，当我第一次因为弱磁电耦合测量需要开始接触到锁相放大器的时候，实验室有一台老旧的手动设置纸笔记录的EG&G PARC Model 124A from Princeton Applied Research，边看波形边扫频并用纸笔boring的记录锁相测量结果的时候，不知怎么就冒出一个idea，有波形数据(当时国产数字存储示波器已经问世，我恰巧就购买现在早已停产属于普源Rigol DS5062C这个国产骨灰级数字存储示波器)，我可以在电脑里完成锁相啊，完全取代普林斯顿的EG&G 124A的功能，干嘛要多此一举费力还容易出错的将精力白白耗在古董锁相上？有想法的时候通常自动具备不停的干劲，几个月下来，经过dll的C调用驱动接口、自学虚拟仪器LabView图形语言、vi实施锁相算法、自动测量程序控制一路逐层通关，竟然将最初设想的功能实现了，而且锁相性能与测量效率都有明显提升(性能与效率对比后来投稿发表在Meas. Sci. Technol.上)，自此终于彻底废弃了普林斯顿的EG&G 124A，我也从枯燥的手摁笔录工作中解放出来。用国产几千元人民币的低端示波器，加上自己编写的虚拟仪器算法，完美取代从普林斯顿进口的几千美元的锁相，让我领悟到示波器使用的“看”、“测”、“变”、“驯”四重境界，并网络公开分享。对自己辛苦编写的代码也没有保留的在网络上做了公开，公开代码行为我认为是[color=#131ad4]自信开放的将过去的成就放下，积极采取面向未来继续创新的姿态[/color]。除此以外，这个经历对于训练我养成奋斗者思维的帮助很大，后来的工作中在面临资源不足的困难时，从[color=#131ad4]不想着抱怨，只一味的主动激励自己积极行动将困难当作提升能力的机遇[/color]。[/align][align=left]上段介绍笔者进入复数测量研究生涯的起点，这个起步经历只是验证锁相可以被虚拟仪器化，并无原理创新，接下来进入正题，鸟瞰笔者这些年在复数测量原理创新方面取得的一点点进步。上一章谈到，用锁相进行复数测量的两大关键，锁相环频率跟踪与虚实部相敏检波，而且传统方法测量结果是跟参考信号频率对应的复数，被测复数真实的交变频率是作为隐变量，通常被当作跟参考频率完全一致。然而被测信号的频率与参考信号的频率总能完全一致吗？这个问题是笔者在想尽办法改进锁相时的关键切入点，答案显然是否定的，让两路信号保持频率一致在一致度要求不高比如0.1%时不难，但要求到1ppm量级的不一致度时就很不容易，由图8可知锁相只在参考信号一侧应用了锁相环保证频率稳定，而另一端，恰好是被测信号通常无法稳频，此时由于介质非线性、传输色散、多普勒效应等不可避免引入频漂，频漂的存在，造成相敏检波的两个输入信号存在频差，一定会导致实部虚部测量结果的不准乃至错误，因为信号频率与幅值及相位共同描述一个完整的信号，分别好比浮在水面上的船体与船帆的位置及方向，如图9所示，以船体作参照物看船帆相对固定，而以岸作为参照物时则在波浪中更多看到的时船帆的飘摇，因而固定参考信号的锁相工作像是现代版的刻舟求剑。[/align][align=left]笔者解决这个问题的思路如图10所示，实际上是[color=#df402a]取消被测信号的频率与固定参考信号的频率一致的假定，通过锁相的算法改进成频率的泛函，同时解决被测信号的抗噪测频与准确锁相两个问题[/color]，新方法的名称叫测频锁相仪或锁相频率计。使用锁相频率计的测频精度跟快速傅里叶变换(FFT)的对比效果如图11所示，我们知道傅里叶变换的频率精度受取样窗口的制约，很难进一步提高，而锁相频率计新方法能够在频域进行超精细扫描，比如图11中相比FFT的测频精准度只有约万分之一，而锁相频率计能精细到百万分之一以内。当然，精度的提高在原理上有限度，一定的时间长度与采样率条件下频率测量不确定性存在统计学上的下限即Cramer-Rao下限 ，经过数值仿真可知，新方法在不同信噪比条件下的测频精度接近理论下限，如图12所示。近期，笔者经过理论推导出单周期信号的锁相频谱在估计频点附近的局部函数形式，证明了正确的函数形式优于经验的抛物线，并基于此使用较少的计算量就能达到精确测频的结果，当数字处理信号长度为N时，相比FFT的复杂度O(N*logN)，新算法的复杂度减为O(N) 。通过高速AD与FPGA芯片组合搭载新算法形成的样机，对某977 Hz信号的实测结果如图13所示，实际测频不确定度约±0.15 ppm。为了获得横向对比，2019年初样机在中山大学锁相实验室进行了第三方对比测试，结果显示锁相性能的两个核心指标，测频精度与噪音谱密度，在时间常数1 s时，基于新原理的锁相样机分别为0.2 ppm @ 10 kHz与0.98 nV/√Hz @ 997Hz，相同条件下对照的瑞士苏黎世仪器HF2LI的与美国斯坦福仪器SR865的测频精度是±2 ppm @ 10 kHz、这两台仪器噪音谱密度则分别是23 nV/√Hz与4.3 nV/√Hz @ 997Hz，对比数据可见在这两个指标上笔者研发的样机性能领先。目前样机正在推向问世与接受小量定制，目前在高性能测频锁相、小尺寸集成与柔性软硬件定制方面跟同类产品相比具有独创优势，未来若干年将逐步进行市场与技术迭代以实现大批标准化产品定型。[/align][align=left]从读研究生时开始接触复数测量于起步时用虚拟仪器在国产低端示波器替代美国普林斯顿的古董锁相，到如今定制芯片硬件中嵌入原理创新的锁相仪器的核心指标超越瑞士苏黎世仪器与美国斯坦福仪器的主流锁相，笔者作为测频锁相奋斗者的时光流逝了15年。[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/428285e60b5947d6898595a61929cad0/clipboard.png[/img][img=,547,385]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300907516636_5405_1611921_3.png!w547x385.jpg[/img][/align][align=center]图9 频率、幅度和相位之间一体性关系的图示[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/467cd5d0de9c4ae8ad781823419425a3/clipboard.png[/img][img=,541,393]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300908042729_4248_1611921_3.png!w541x393.jpg[/img][/align][align=center]图10 新型锁相测量技术原理框架[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/5e844f8042994e72887e56189fb80144/clipboard.png[/img][img=,515,421]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300908162852_6831_1611921_3.png!w515x421.jpg[/img][/align][align=center]图11 锁相频率计跟快速傅里叶变换(FFT)的测频精度比较[/align][align=left][/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/919b260b162b411dab20303a31fd16c4/gfittingsimp.png[/img][img=,567,339]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300908294694_9905_1611921_3.png!w567x339.jpg[/img][/align][align=center]图12 新型锁相频率计在不同信噪比条件下的测频精度跟理论极限Cramer-Rao Lower Bound(CRLB)对照图[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/b867220030dc49b69dac07da915f29d1/clipboard.png[/img][img=,688,437]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300908410006_8607_1611921_3.png!w688x437.jpg[/img][/align][align=center]图13 新型锁相频率计对一个977 Hz实际信号测量结果(监控持续约80分钟)[/align][align=left][color=#528cd8]4、复数测量未来前景？[/color][/align][align=left]随着中国智造的加速转型，复数测量的普适度与深度在继续，在人类看得见摸得着的范围内，未来的智能感知、准确定位与互联、精密制造、与痕量物质探测中锁相测量的应用前景让人乐观。在人类肉眼难以感知到的超微观与超宏观世界，如图14所示，亚原子与深太空人类探索更是无止境，无论浩瀚与微渺，不管刹那还永恒：复数事件不息，复数测量不止。[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/7ec368bd7b174f908a0040b9c98a7b00/clipboard.png[/img][img=,690,209]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300908515496_9756_1611921_3.png!w690x209.jpg[/img][/align][align=center]图14 极微观结构与超宏观事件探测都离不开复数测量(显微探针与引力波探测示意图片均取自网上)[/align][align=left]前面在讨论布尔于复数发展过程中的遗憾时，已经提到未来计算机应是模拟计算与数字计算平分秋色，各挥所长。模拟计算中最引人瞩目的应是量子计算，在接近自然的搜寻与大数分解等问题上相比数字计算具有无与伦比的并行加速效率优势。对比当前主流的二值数值比特，量子比特的本质是复数比特，如图15所示，以电子|0与|1双态轨道举例，双态的混叠可能性在球面上，球面与复平面之间满足相互等效的投影关系(详见附1)。尽管量子计算机中必须使用大量的锁相放大器用于制备量子态与监控量子态的相干性，但复数比特的直接测量依然是个严峻的难题，短期内无法实现，因为量子复数比特中的相位是内在空间的相位，与宏观的波函数中相位完全是两回事，不能生搬硬套，正如狄拉克先生《Principles of Quantum Mechanics》一书的第一章从哲学高度画出的big与small的界限，在small的世界里，big世界里的概念规则方法必定失效，除非技术的进步能将big与small之间的界限往下挪动一层，比如一定程度上解构量子比特的内在自由度并制备出相应的复数比特探针。从这个角度来看，量子计算机离实用还非常遥远，但这一天终将到来的吸引力如此美好。[/align][align=center][img=,390,193]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300909017886_5722_1611921_3.png!w390x193.jpg[/img][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/22424ad1607f4a1f997f679803c1d370/clipboard.png[/img][/align][align=center]图15 量子比特的形象与几何表示[/align][align=left][/align][align=left][color=#528cd8]5、结尾启示？[/color][/align][align=left]从上文可以看出，在人类历史上，复数到很晚才得以发展，甚至直到上个世纪才被发现非常有用，当前[color=#2a31df]我们正处在人类运用复数进一步加速提升生产力的时代[/color]，锁相技术将会不可避免的被更深入的集成与更广泛的应用。笔者有理由相信，随着电磁学、相对论与量子信息的在人类科技文明发展过程中的更全面的渗透，掌握并运用复数的人们将能更从容的面对未来的变化与未知的挑战。[/align][align=left]复数的内涵对于我们能有什么启示？有一首复数之歌，英文原歌词在本章后面(见注2)，作者姓甚名谁可惜未被考证，歌词跟《共和国战歌》的调子非常合拍，而且非常准确的道明复数的魅力源于虚数单位，-1的平方根，歌词中被反复咏唱的，the root of minus one，然而，虚数单位的魅力源于什么？What's the root of the root of minus one? 作者通过自己对复数的理解与应用获得的感悟是，i处在正负之间，是相反操作的一半，离开正却未到负，不正不负，像是举棋待定，像是不可捉摸。对于i这种独立的自然属性，读者您一定也会若有所思，并会相信个人经历与社会事件除了笼统绝对的黑白与对错之外，在没有完整了解情况前，还有不黑不白不对不错的中庸取向可选，适当跳出自己所处的局部时间与位置，分析手头掌握的可靠信息，实事求是的对已有一份根据形成对应的一份结论，不是吗？[/align][align=left]从复数测量的实质是整体相位准确测量的原理，我们可知局部孤立的事件难以测到复数的相位信息，从不正不负不黑不白的i取向看足够长时间或拉足够远的视角，一定能更准确的掌握事件整体趋势，并坚定的将自己的思想与行动跟真实的长远趋势保持一致。碰巧independent与imaginary一样，都以虚数单位i开头。正如送给读者的下面四句话：[/align][align=left][/align][align=left]举棋待定，[color=#ff0000]半步自由[/color]；或正或负，游刃有余。[/align][align=left]看似无限，[color=#0000ff]实在之间[/color]；不左不右，[color=#ff0000]中庸独立[/color]。[/align][align=left][/align][align=left]最后，作者衷心希望您通过本文的阅读，有所思、有所获，更淡定、更快乐。[/align][align=left][/align][align=left]附1：复数的连续降维与升维操作说明[/align][align=left]二维复面，零点到单位圆和单位圆至无穷远区域对应升一维即3维单位球上对称的两个半球，零点与无穷远圆对应球的两个极点；假若将图16去掉一维，则z变成x(设y=0)，Q变成r+it(此时s=0)，于是显然可见一维数轴，零点到1和1到无穷远区域对应升一维即2维单位圆上对称的两个半圆，零点与正负无穷远对应圆的两个极点；从一维与二维结果类推三维空间或更高N维空间，[color=#2a37df]零点到单位球和单位球到无穷远区域对应升一维即4维或N+1维单位球上对称的两个半球，零点与无穷远球对应升维球的两个极点[/color]。[/align][align=center][img]L:/progs/Youdao/handsomeland@163.com/9e4306265b574c41830c5926b2a7e836/clipboard.png[/img][img=,372,321]https://ng1.17img.cn/bbsfiles/images/2019/07/201907300909136068_8029_1611921_3.png!w372x321.jpg[/img][/align][align=center]图16 三维单位球面与二维复平面之间一一映射的几何关系与代数公式[/align][align=left][color=#393939]注1: 关于发明vs发现的用词，数学专家也不一定能作出明确统一的辨析，因为其中涉及到深奥的可能脱离科学可证否性问题的讨论。很多人认同，复数作为解释工具体系，是被发明的；但其中经过人类实践反复证明过的普遍逻辑与理性，说是发现也没有不妥。为了避免这个细节让读者群体取向性分离从而影响主体信息的传达，本文在相关地方使[/color][color=#172bcf]用"引入"或"发展"表达双重含义的叠加效果[/color][color=#393939]。[/color][/align][align=left]注2：The Complex Number Song(Author: unkown Tune: Battle Hymn of the Republic)[/align][align=left]Mine eyes have seen the glory of the Argand diagram,[/align][align=left]They have seen the i's and thetas of De Moivre's mighty plan.[/align][align=left]Now I can find the complex roots with consummate elan,[/align][align=left]With the root of minus one.[/align][align=left]Complex numbers are so easy [/align][align=left]Complex numbers are so easy [/align][align=left][color=#df402a]Complex numbers are so easy [/color][/align][align=left][color=#df402a]With the root of minus one.[/color][/align][align=left][/align][align=left]In Cartesian co-ordinates the complex plane is fine,[/align][align=left]But the grandeur of the polar form this beauty doth outshine.[/align][align=left]You be raising i+40 to the power of 99,[/align][align=left]With the root of minus one.[/align][align=left][/align][align=left]You'll realise your understanding was just second rate,[/align][align=left]When you see the power and magic of the complex conjugate.[/align][align=left]Drawing vectors corresponding to the roots of minus eight,[/align][align=left]With the root of minus one.[/align][align=left][color=#528cd8]参考文献：[/color][/align][align=left]【1】D.C. Zill and P.D. Shanahan, A first course in complex analysis with applications, Jones, 2003 [/align][align=left]【2】Paul Nahin(原作者)，《虚数的故事》，朱惠霖译，上海教育出版社，2008[/align][align=left]【3】《数学手册》编写组，《数学手册》，高等教育出版社，1979；方程解法原著：秦九韶，《数书九章》，南宋，约1247年。[/align][align=left]【4】锁相经典教科书：M. L. Meade, Lock-In Amplifiers: Principles and Applications. (Peter Peregrinus, London, 1983)；笔者查到的第一篇锁相放大器论文 W.C. Michels and N.L. Curtis, A pentode lock-in amplifier of high frequency selectivity, Rev. Sci. Instrum., 12, 444(1941)；推荐阅读在线讲义： http://people.ee.duke.edu/~mbrooke/defense/Borte.ppt 、 https://nationalmaglab.org/images/news_events/searchable_docs/summerschool/2016/lockin_amplifier_kowitt.pdf[/align][align=left]【5】[color=#393939]陆俊 等，Wideband magnetoelectric measurement system with the application of a virtual multi-channel lock-in amplifier, Meas. Sci. Technol., 19, 045702(2008)[/color][/align][align=left]【6】陆俊，由浅入深认识示波器，网络创作，访问URL: [url=https://bbs.instrument.com.cn/topic/1160340][color=#003884]https://bbs.instrument.com.cn/topic/1160340[/color][/url][/align][align=left]【7】陆俊，虚拟仪器的研制介绍，现代仪器，18, 78-83(2012)[/align][align=left]【8】陆俊，多功能磁电频谱仪(含第二代锁相算法的labview源文件)，2008年2月上传至仪器信息网并公开： [url=https://www.instrument.com.cn/download/shtml/62888.shtml][color=#003884]https://www.instrument.com.cn/download/shtml/62888.shtml[/color][/url][/align][align=left]【9】[color=#393939]陆俊 等，一种抗噪音宽带频率测量方法及锁相频率计，中国发明专利：201110380805.X 一种宽频阻抗测量系统及宽频阻抗测量方法，中国发明专利：201210081375.6 信号取样平均仪和信号取样平均方法，中国发明专利：201310535320.2 一种级联锁相仪与级联锁相方法，中国发明专利：201410725833.4 一种时域信号的锁相时频测量方法及装置，中国发明专利：201510004030.4 用于对锁相放大器进行测试的测试仪及其测试方法，中国发明专利：201510182065.7；频率测量装置和频率测量方法，中国发明专利：201710707180.0。[/color][/align][align=left]【10】[color=#393939]陆俊 等, Lock-in frequency measurement: novel principles for high precision and efficiency, under revision, 2019[/color][/align][align=left]【11】[color=#393939]陆俊, Theory and implementation of a precision lock-in frequency meter, Lecture presented at EDICON in April 2019[/color][/align][align=left]【12】D.C. Rife and R.R. Boorstyn, Single-tone parameter estimation from discrete-time observations, IEEE Trans. Inform. Theor., 20, 591-8(1974)[/align][align=left]【13】M.A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum computation and quantum information, Cambridge, 2000[/align]