tcxuefeng读书笔记——自旋系综及密度算符

tcxuefeng

2012/08/26

私聊

核磁共振技术（NMR）

之前我们所讨论的是单自旋核在外磁场及脉冲作用下的状态变化，而实际中我们所面对自旋比这复杂的多——在任一时刻，只有极少数的1/2核接近于|α﹥ 或|β ﹥ 态，而绝大多数核为这两种状态的叠加态。表示如下

量子力学中，将处于相同宏观条件下的相互独立运动的微观粒子的集合称为系综，我们可以将核磁中研究的大量自旋核近似看做系综。而密度算符是对系综整体的描述，而不需要考虑单个核的自旋状态，这一算符在NMR理论中处于中心地位。下面是这一算符的推导
回到单个1/2核的情景。基于量子理论，单次实验下粒子所处的状态是不确定的，但是如果我们所做的观测越多，我们就会发现我们的观测结果越趋向于某一个明确的数值。假设算符Q代表的是对自旋|ψ﹥ 所做的观测，那么其观测值的期望值为

将展开式中与自旋核有关的cα,cβ 单独构造成一个矩阵

这样，期望值的式子被简化为

其中Tr代表的是取矩阵对角元的加和。
这是单个核的情景，系综中有大量这样的核相叠加，最终我们的观测值为

这里就引出了密度算符ρ的概念

其中的N为系综中微粒的个数。于是系综下期望值最终简化为

我们可以看到，对于大量微粒的宏观观测值最终可以归结为两个自旋算符。算符Q代表的是对系综的某一测量(或观测)；而密度算符ρ代表的是整个自旋系综的状态，而这一状态与系综中自旋核的数量无关。这一变换大大简化了之后的推导，从而使实际应用中对宏观物体核磁现象的解释提供了可能。

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tcxuefeng

第1楼2012/08/26

其实我们最先看到是1/2核密度算符的矩阵形式，因此这一算符又常被称为密度矩阵。

这一矩阵的对角元称作|α﹥和|β﹥态的 populations，其对应着系综中两能级上的粒子分布

而非对角元有一个在核磁中如雷贯耳的名字——|α﹥和 |β﹥态的相干

正如上图所表示的那样，1/2核的密度矩阵还能表示成如下形式
其中而