【求助】贝塞尔公式与标准偏差

对于有限次测量次数计算是一致的

在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。

设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l₁、l₂、……l_n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有　　　　σ₁ = l_i − X

　　σ₂ = l₂ − X

　　……

　　σ_n = l_n − X

　　我们定义标准偏差(也称标准差)σ为

　　

　　 （1）

　　由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。



标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式

　　由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。

　　于是我们用测得值l_i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V_i来代替真差σ , 即

　　

　　设一组等精度测量值为l₁、l₂、……l_n

　　则　

　　　　

　　　　……

　　　　

　　通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为

　　

　　将上式代入式(1)有

　　

　　　　　(2)

　　式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。

　　它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。

　　应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为

　　　　(2')

　　在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有

　　

　　于是, 式(2')可写为

　　　　(2")

　　按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。

标准偏差还有极差法和最大误差法的计算方法，一般情况下只有当测量次数大于20次时才推荐使用贝塞尔公式

谢谢各位老师指点，我是做药品检验的，最近需给一个测量仪器做重复性试验，我按药学的重复性试验的习惯，得出RSD值，后来发现要求用贝塞尔公式计算，我就不知该怎么办好？重复性试验用贝塞尔公式计算后，判断好坏的标准是什么？还要再请教各位老师，谢谢.

方法中没要求吗??

计算结果越小越好

學習了,不過有些錯別字,非常好的資料

xing-xing(xingzhenhai) 发表:设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l₁、l₂、……l_n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有　　　　σ₁ = l_i − X

　　σ₂ = l₂ − X

　　……

　　σ_n = l_n − X

　　我们定义标准偏差(也称标准差)σ为

　　

　　 （1）

　　由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。

标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式

　　由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。

　　于是我们用测得值l_i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V_i来代替真差σ , 即

　　

　　设一组等精度测量值为l₁、l₂、……l_n

　　则　

　　　　

　　　　……

　　　　

　　通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为

　　

　　将上式代入式(1)有

　　

　　　　　(2)

　　式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。

　　它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。

　　应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为

　　　　(2')

　　在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有

　　

　　于是, 式(2')可写为

　　　　(2")

　　按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。

解释的很到位