定量分析中的误差及有效数字

例2：测定值57.30，真实值57.34。

绝对误差（E）= X – T = 57.30 - 57.34 = -0.04

E -0.04

相对误差（RE）= ×100% = ×100% = -0.07%

T 57.34

例3：测定值为80.35，真实值85.39。

E = X – T = 80.35 - 85.39 = -0.04

E -0.04

RE = ×100% = ×100% = -0.05%

T 80.39

得出结论：绝对误差相同，但相对误差不同。

练习：测定值：80.18%，真实值：80.13%。

计算：绝对误差（E），相对误差（RE）

应用：实际测定时，相对误差使用较多，仪器分析使用绝对误差较多，具体情况具体分析。

2、精密度与偏差

例1： 甲 乙 丙

50.20 50.40 50.36

50.20 50.30 50.35

50.18 50.25 50.34

50.17 50.23 50.33

平均值：50.19 50.30 50.35

真实值：50.36

什么是偏差：表示几次平行测定结果相互接近的程度。

（1）偏差的表示：绝对偏差（d）= X—X

d X - X

相对偏差（d%）= ×100% = × 100%

X X

绝对偏差：单项测定与平均值的差值。

相对偏差：绝对偏差在平均值所占百分率或千分率。

精密度是指相同条件下几次重复测定结果彼此相符合的程度。

精密大小由偏差表示，偏差愈小，精密度愈高。

实际工作中：平均偏差的使用较普遍。

（2）平均偏差：是指单项测定值与平均值的偏差（取绝对值）之和，除以测定次数。

| d₁| + | d₂| + | d₃| + …|d_n| ∑ | di |

平均偏差d = =

n n

d ∑ | di |

相对平均偏差（%）= —— × 100% = × 100%

X nX

例2：55.51，55.50，55.46，55.49，55.51

计算：X，d，d% （见书P215页）

（3）标准偏差S：



相对标准偏差 = S/ X× 100%

总结：在一般分析中，通常多采用平均偏差来表示测量的精密度。而对于一种分析方法所能达到的精密度的考察，一批分析结果的分散程度的判断以及其它许多分析数据的处理等，最好采用相对标准偏差等理论和方法。用标准偏差表示精密度，可将单项测量的较大偏差和测量次数对精密度的影响反映出来。

例3：甲：0.3，0.2，0.4，-0.2，0.4，0.0，0.1，0.3，0.2，-0.3

乙：0.0，0.1，0.7，0.2，0.1，0.2，0.6，0.1，0.3，0.1

计算：第一组和第二组即甲组和乙组的d和S

∑ | di |

第一组：d₁ = = 0.24

n

∑ | di |

第二组：d₂ = = 0.24

n

第一组：S₁ = 0.28 S₂ = 0.34

由此说明：第一组的精密度好。

②小误差出现的次数多，大误差出现的次数少，个别特别大的误差出现的次数极少。

③在一定条件下，有限次测定值中，其误差的绝对值不会超过一定界限。

过失误差：由操作不正确，粗心大意引起的误差，舍去所得结果。

例如：加错试剂、溶液溅失等。过失误差在工作中是完全可以避免的。

3、提高分析结果准确度的方法

（1）选择合适的分析方法

化学分析：滴定分析，重量分析灵敏度不高，高含量较合适

仪器分析：微量分析较合适

（2）减小测量误差

例如：在重量分析中，测量步骤是称重，这时就应设法减少称量误差。

例如：天平的称量误差在±0.0002克，如使测量时的相对误差在0.1%以下，试样至少应该称多少克？

绝对误差

相对误差 = ×100% （试样重即真实值）

试样重



E 0.0002

试样重 = = = 0.2g

RE 0.1%

称重必须在0.2g以上，才可使测量时相对误差在0.1%以下。

（3）增加平行测定的次数、减小偶然误差。

一般要求在2~4次，一般为三次，既可以得到比较满意的结果。

（4）消除测量过程中的系统误差

①空白试验：指不加试样，按分析规程在同样的操作条件进行的分析，得到的空白值。然后从试样中扣除此空白值就得到比较可靠的分析结果。

②对照试验：用标准品样品代替试样进行的平行测定。

标准试样组分的标准含量

校正系数 =

标准试样测得含量

被测组分含量 = 测的含量 Х 校正系数

最有效的消除系统误差的方法。

③校正仪器：分析天平、砝码、容量器皿要进行校正。

三、有效数字及运算法则

1、有效数字：实际能测量到的数字。在一个数中，除最后一位数是不甚确定的外，其它各数都是确定的。

例1：读取滴定管上的刻度：

甲：23.43ml 乙：23.42ml 丙：23.44ml 丁：23.43ml

2、有效数字中“0”的意义

例2： 1.0008， 43181 五位

0.1000， 10.98% 四位

0.0382， 1.98×10^-10 三位

54 0.0040 二位

0.05 2×10⁵ 一位

3600 100 不明

“0”在有效数字中可作为数字定位或有效数字双重作用。

总结：

①数字之间和小数点后末尾的“0”是有效数字；

②数字前面所有的“0”只起定位作用；

③以“0”结尾的正整数，有效数字位数不清。

说明：4.5×10³（2位）；4.50×10³（3位）；4.500×10³（4位）。

3、实际应用

例如：50mL酸式滴定管，10ml < V_测 < 50mL；V_测 < 10mL。

4、数字修约规则

“四舍六入五成双”→ 数字修约规则由科学技术委员会颁布。

例3：

28.175 28.18

28.165 28.16

28.2645 28.3

28.2501 28.3

2.154546→2.15455 →2.1546→2.155→2.16不正确

↓正确

2.15

总结：

①当尾数≤4时舍去；

②当尾数≥6时进位；

③当尾数＝5，5后无数，全部为零时前一位奇数进1位，前一位偶数不进；

5后并非全部为零时则进1。

5、有效数字计算规则：

（1）加减法：保留有效数字的位数，以小数点后位数最少的为准。绝对误差最大的为准。

例4：0.0121 + 25.64 + 1.05782 = ？

①先按修约规则→全部保留小数点的后二位；

②再计算；

③不允许计算后再修约。

0.01 0.0121

25.64 25.64

+ 1.06 + 1.05782

26.71 26.70992

正确 不正确

（2）乘除法：保留有效数字的位数，以位数最少的数为准。

例5： 0.0121×25.64×1.05782 = ？

0.0121×25.6×1.06 = 0.328（结果要求是三位）

=0.3283456

以相对误差最大的为准。



±0.0001

0.0121 RE = × 100％ = ±0.8％

0.0121



±0.01

25.64 RE = × 100% = ±0.04%

25.64

±0.00001

1.5782 RE = × 100% = ±0.0009%

1.05782

6、自然数

例6：水的分子量 = 2×1.008+16.00=18.02

2≠有效数字，非测量所得是自然数，其有效位数为无限

这个比较系统的介绍资料很不错

可是实际工作中我们都是用计算器直接连算后再修约的啊，没有再按照书本上所说的那样先修约再计算啊

呵呵，我们是先修约再计算