分析仪器信号去噪方法

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2024/10/23

私聊

分析化学

分析仪器信号去噪方法

卞希慧，严雅婧，郝悦，凌梦旋，刘鹏，谭小耀

天津工业大学，化学工程与技术学院，天津300387，中国

摘要：由于受到仪器电子器件、环境温度、湿度等影响，分析仪器产生的信号不可避免地会含有噪声。为提高信号的信噪比，研究者在硬件的改造和算法去噪方面做了大量的工作。本文系统总结了分析仪器信号去噪的算法，并将这些算法分为三大类：基于平滑的去噪方法、基于分解的去噪方法与基于建模的去噪方法。详细讲述了每种方法的原理和去噪过程，并分析了各自的优缺点。此外，讨论了现有去噪方法中存在的问题，并总结了解决实际去噪问题的四种策略。

关键词：分析仪器信号；去噪；平滑；分解；建模

1 前言

目前，分析仪器广泛应用于化学^[1]、化工^[2]、环境^[3]、材料^[4]等多个领域，包括光谱、色谱、电化学、能谱等各类仪器。不同的分析仪器所获得的信号是物质化学结构及性质的反映。但是，由于仪器本身的固有限制以及外部环境因素的影响，分析仪器所获取的信号常含有噪声。这些噪声对信号的质量和准确性产生了负面影响，使得后续的数据分析与处理变得颇具挑战。随着科技的不断进步，分析仪器正在不断改进以减少噪声的影响。这些改进包括硬件的优化设计、采用更精细的制造工艺以及更为先进的材料。例如，通过改进探测器的设计可以降低电子噪声；而通过使用更稳定的光源，可以减少由光强度波动引起的噪声。此外，数字化技术的使用使得信号处理更加高效，有助于进一步抑制噪声。尽管硬件改进对于减少噪声至关重要，但在许多情况下，依靠硬件来解决噪声会受到技术以及资金的限制。因此，去噪算法的发展已成为补充硬件改进的重要手段。

最早发展的去噪方法是移动平均（Moving Average, MA）和傅里叶变换（Fourier Transform, FT），分别是平滑去噪和分解去噪的典型代表^[⁵^,⁶^]。但是移动平均在去噪的同时有效信号的峰也会被降低；傅里叶变换只能处理线性平稳信号，对于非线性非平稳信号并不是特别有效。随后，大量的基于平滑和基于分解的去噪方法分别被提出。近年来，深度学习（Deep Learning, DL）技术的出现引发了去噪算法领域的全新突破。深度神经网络，尤其是卷积神经网络（Convolutional Neural Networks, CNNs）和循环神经网络（Recurrent Neural Networks, RNNs），在图像与语音识别等领域已经展现出了显著的去噪潜力^[⁷^-⁹^]。这些模型学习大量数据的能力使其能够自动捕获信号中的复杂模式，同时在去噪过程中保留重要特征信息。

尽管大量的去噪算法被提出，但目前缺乏对这些算法的分类及系统的概述。本文对去噪方法进行了全面且系统的总结，并将去噪方法按原理分为基于平滑、基于分解和基于建模的三类，如图1所示。并总结了解决实际去噪问题的四种策略。

图 1 去噪方法总结

2 去噪算法

2.1 基于平滑的去噪方法

2.1.1 移动平均平滑(MA)

移动平均（MA）是一种简单的平滑预测技术。MA去噪的过程如下：首先确定移动平均的窗口大小，这个窗口大小决定了每次参与平均计算的数据点数量。然后从数据序列中合适的位置开始（考虑到边界情况），对于每个数据点，计算以该数据点为中心、窗口大小范围内的所有数据点的平均值。例如，对于给定的一个数据序列，按照设定的窗口大小依次遍历序列中的数据点，将窗口内的数据点相加再除以窗口大小得到平均值。在计算平均值时，对于序列开头和结尾处，由于窗口可能超出数据序列范围，需要特殊处理，比如开头处可能采用逐步增大窗口或者特殊计算方式。在计算出每个合适位置数据点的平均值后，可以选择用这些平均值来替换原始数据点从而得到一个平滑后的序列，经过这样的操作，数据中的小波动（噪声）被平均化，从而达到去噪的效果，使得数据更能体现出整体的趋势或规律。在使用移动平均（MA）进行平滑时，窗口宽度是一个重要参数，不同的MA窗口宽度对平滑效果会产生不同的影响。当窗口宽度太小时，由于选取平均值的范围过小致使对光谱噪声的抑制力度不够。当窗口宽度过大时，简单的均值计算会在去除噪声的同时平滑掉有用信息，还会导致光谱偏移，造成信号失真，影响后续谱峰的提取。

因其在减少高频噪声方面的简便性和高效性，MA算法在光谱分析软件中被广泛应用于去噪算法。它适用于关注信号整体趋势的情况。然而，它存在着两处缺陷：一是固定窗口宽度的问题，二是死区的问题。Ji等人^[10]提出了一种全自动自适应多尺度窗口平均（Adaptive Multi-scale Window Average, AMWA）平滑去噪算法，以解决固定窗口宽度的问题。Shan等人^[5]提出了一种自适应移动平均（Adaptive Moving Average, AMA）过滤方法，该方法能够解决死区和固定窗口的问题。除了以上问题，还存在对信号边缘响应慢的问题，这可能是造成延迟的原因。此外，在处理非平滑信号或包含快速变化的信号时，移动平均可能会导致信息模糊。

2.1.2 Whittaker平滑(WS)

Whitaker平滑（Whitaker Smoother, WS）是由Whitaker提出的一种数学算法^[11]，在2003年Eilers首次将其应用于分析化学^[12]。与移动平均平滑相比，Whitaker平滑具有更强的适应性与更好的平滑效果，并且在处理周期性变化、高频噪声和边缘效应方面更有效^[¹³^-¹⁵^]。Whitaker平滑主要是一种使用带有惩罚项的最小二乘法的去噪技术^[16]。图2展示了其原理，该原理涉及找到一个平滑序列z，使其适应光谱测量数据y^[17]。然后通过调整z来确定拟合效果Q。Q取决于两个相互冲突的目标：数据的保真度S和数据的粗糙度R。为了平衡这两个目标，引入一个权重参数λ，得到组合Q=S+λR。方程Q=S+λR用于获得组合，然后通过找到使Q最小化的z值得到平滑的光谱序列。

Whitaker平滑运算速度快、实现简单、可以通过快速计算留一交叉验证实现自动选参等^[¹⁸^,¹⁹^]。然而，它要求采集数据中相邻采集点之间的间隔是相等的，这限制了其广泛应用。

图 2 WS去噪过程

2.1.3 Savitzky-Golay平滑（SG）

Savitzky-Golay（SG）平滑是由Savitzky和Golay于1964年提出的一种基于时域局部多项式最小二乘拟合的平滑方法^[20]。虽然SG平滑与MA平滑有一些相似之处，但其基本原理有所不同。MA是在设置窗口内的一个固定子集中计算整体平均值，而SG平滑采用加权平均法，着重于中心点^[21]。SG平滑的原理是在2m+1个点的每个连续子集进行最小二乘意义上的p次多项式拟合，其中p≤2m，且窗口宽度应为奇数^[22]。为了在原数据的中间点获得第d次微分，需要对拟合多项式进行微分运算，而非直接对原始数据本身。通过使用长度为2m+1的数字滤波器对整个输入数据进行卷积，可以简单而自动地执行最小二乘多项式拟合。

SG平滑的关键优势是它没有延迟，并且在短时间内对数据丢失具有高度韧性^[23]。然而，SG平滑的去噪效果取决于窗口大小的选择。较大的窗口可能导致有效信息的丢失，而较小的窗口可能会使信号中仍存在噪声^[24]。在某些特殊情况下，特别是在处理包含尖锐峰值的信号时，SG平滑处理后这些尖锐峰值可能会出现过度平滑，导致信号失真^[25]。

2.1.4 Norris-Williams(NW)

Norris-Williams（NW）噪声消除是一种用于信号处理的技术，特别是在地震数据分析中。该方法是由Norris和Williams提出的，通过迭代更新噪声模型，并用来估计和去除噪声^[26]。噪声消除过程如下。

第一步是平滑光谱并平均给定的点数：

(1)

其中m是以当前测量点i为中心的平滑窗口中的点数。第二步是对两个给定间隙大小（大于零）进行一阶导数；随后进行二阶导数，取点i处的平滑值的两倍和两侧间隙距离处的平滑值的两倍：

(2)

从公式(2)可以看出，实际的推导模拟了一个有限差分。通过平滑处理并在计算前引入间隙大小，减少了信噪比降低的问题^[27]。

NW具有高度的灵活性，能够适应不同类型的噪声，并为复杂的信号，如多波形，提供了明显的去噪效果^[28]。然而，对于多轮迭代所需计算量而言，其重要性不言而喻；且去噪过程的有效性非常依赖于对噪声特征的准确理解。

2.2基于分解的去噪方法

2.2.1奇异值分解（SVD）

作为一项自适应的数据驱动信号处理技术，奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）采用时频分析来识别和描述信号，具有增强周期信号的能力^[29]。它能有效增强了周期性信号，不需要对信号和噪声特性进行先验假设，并且对非线性和非平滑信号具有良好的去噪效果^[30]。以下是奇异值分解的流程。

假设存在一个噪声信号X= ( x1, x2,…, xN)，其中原始信号S= ( s1, s2,…, sN)，噪声信号V= ( v1, v2,…, vN)，N是信号的长度并且满足

(3)

依据公式（3），将噪声信号X构建为一个m×n（其中m≤n）的Hankel矩阵

(4)

当1< n< N时，m为嵌入维度，且m+n-1=N满足条件。

所获取的Hankel矩阵通过奇异值分解进行分解

(5)

其中U= (u₁, u₂,…, u_m)∈ R_m×n, V= (v₁, v₂,…, v_n)∈ R_n×n都是正交矩阵，且∑是一个m×n维的矩阵。

(6)

其中?= diag ( σ₁, σ₂,…, σ_r), σ₁≥ σ₂≥…≥ σ_r, σ_i 是矩阵H的奇异值，r是汉克尔矩阵的秩，0是零矩阵。

奇异值分解原理是选取矩阵?的前k个（k＜r）显著奇异值，并将剩余的(r-k)个奇异值设置为零。然后根据奇异值分解的逆过程计算重构矩阵，最后将矩阵转化为一维信号，即为去噪信号^[31]。

虽然国内外许多研究人员对光谱数据的去噪进行了大量研究，包括使用自适应滤波和SG平滑，但这些方法仍存在局限性。SVD具有无延迟和相位偏移小的优势^[32]，通过选择适当的顺序，可以很好地保留光谱信号的光谱特性。

然而，SVD也有一些缺点。例如，它要求原始矩阵有一个有限的解。在许多实际的数据集中，存在大量的噪声，这可能会影响奇异值分解，并导致分析结果不准确^[33]。此外，它的计算复杂度高，在处理大型数据集时效果不佳。

2.2.2傅里叶变换（FT）

傅里叶变换（Fourier Transform, FT）是信号处理领域中的一种常见算法，由法国科学家傅里叶于1807年提出。其去噪过程如下：首先对含噪信号进行傅里叶变换，将信号从时域转换到频域，这样就得到了信号的频谱^[34]。在频域中，噪声和原始信号的频率成分会混合在一起，但它们具有不同的频率特性，通常噪声表现为高频成分，而原始信号的频率成分分布取决于信号本身的性质。然后根据先验知识或者通过一定的分析方法，设定一个频率阈值，将低于或高于该阈值（取决于噪声是低频还是高频为主）的频率成分进行处理，例如直接将认为是噪声对应的频率成分置为零^[35]。最后对处理后的频域信号进行逆傅里叶变换，将信号转换回时域，得到去噪后的信号，从而达到去除噪声的目的。

FT准确地描述了光谱信号的频率特性，但它没有提供关于各成分时间的信息，因此不适用于时域分析。而且，它仅限于去除周期性的平滑信号，不适用于非线性或非光滑的谱信号^[36]。此外，大部分平滑信号均是人工生成的，而自然中发现的大多数信号则是不平滑的。因此，FT不能消除绝大多数测量光谱信号中的噪声。

2.2.3小波变换（WT）

小波变换（Wavelet Transform, WT）与FT之间存在着相似之处，但WT是FT的改进版本，克服了其许多不足之处。Shao和Walczak等人自1997年以来在分析化学领域对WT进行了大量研究^[³⁷^-³⁹^]。该方法提出了一种固定大小、可变形状的时间窗来进行时频局部化分析。

为了处理信号，使用小波对其进行分解，并选择一个阈值来比较每层分解系数中的模值^[40]。将大于和小于阈值的小波系数分别进行处理，然后重建以完成信号去噪过程。以下步骤叙述了具体的过程：在信号去噪过程中，首先选择正交小波基，并确定分解层数，设为n。随后，对信号进行n层小波分解，生成包含噪声的高频系数（例如，cD1, cD2, cD3）和携带信号能量的低频系数（例如，cA1, cA2, cA3）。由于有用的信号集中在低频系数中，而噪声分散在高频系数中，因此去噪过程的核心集中在对高频系数的处理^[41]。在这种情况下，使用适当的阈值量化方法处理第1到第n层的高频系数，包括极端方法即将所有高频系数置零，默认的基于经验公式的阈值方法，以及更灵活的主观阈值方法，后者进一步细分为使用软阈值或硬阈值技术进行去噪。接着，对n层的低频系数继续进行小波分解，而对每一层的量化高频系数进行一维小波重构。这将产生如图3所示的去噪信号。值得注意的是，小波系数的幅度分布大多数幅度相对较小，只有少数较大^[42]。

此外，其简便的计算过程、低复杂度和有效的噪声减少使其成为各种分析仪器信号中去除噪声的理想选择，包括近红外光谱^[43]、拉曼光谱^[44]、高分辨率光谱^[45]以及核磁共振成像^[46]，以及毛细管电泳^[47]。然而，由于WT包含了大量小波基函数和分解尺度，这给参数选择带来了困难。

图 3 WT去噪分解示意图

2.2.4 稀疏分解(SD)

为了应对传统信号分解方法的局限性，一种基于过完备字典分解的稀疏分解算法已经出现并迅速发展。稀疏分解(Sparse Decomposition, SD)理论最初由Mallet和Zhang提出，他们提出将一个信号在一个冗余原子库中进行分解，允许灵活选择基来自适应地表示信号^[48]。这导致了一种紧凑而稀疏的表示，分解中只有少数非零系数。获取稀疏表示的过程称为稀疏分解，遵循以下特定原则：

稀疏分解理论根据信号是否为稀疏成分来区分原始信号和噪声信号。算法框架如图4所示。在加性噪声模型中，包含噪声的信号f可以表示为：

(7)

其中，f_s为原始无噪声信号，f_n为独立分布的随机高斯白噪声。一般来说，原始信号具有某些固定的结构特性，并被认为是噪声包含信号的稀疏部分，而高斯白噪声是随机的，没有明显的特征，也不是一个稀疏部分^[49]。根据这一特征构建相应的结构原子，并通过原子的平移和尺度扩展构成完整的原子库。当在这个原子库执行MP算法时，原子与原始信号的内积必须大于原子与噪声的内积。因此，稀疏分解的系数代表了不含噪声的原始信号。因为没有可以表示噪声信号的原子，所以无法提取噪声。

这可以用公式表示为：

(8)

其中

(9)

通过与原子相互作用获得原始信号的表达，从而得到由投影和原子得到的系数的线性组合。R^ff代表提取原始信号后剩余的信号或噪声信号。这一过程有效地将原始信号从噪声中分离出来。

与基于正交基的信号分解（如WT和FT）相比，SD利用了信号的稀疏性。这意味着有用的频率成分的数量远小于信号成分的总数，从而可以更有效地提取所需的信号并去除各种干扰^[50]。此外，它更适用于非平稳信号，并且在捕捉信号随时间变化的频率特性方面更有效^[51]。然而，在参数选择和计算复杂性方面仍然存在挑战，这需要进一步的研究。

图 4 SD去噪示意图

2.2.5 S-变换(ST)

为了更好地进行时频定位分析，解决时间分辨率和频率分辨率之间的矛盾，Stockwell等人在1996年提出了S-变换（S-Transform, ST）理论，用于数字信号处理技术^[52]。

S- 变换的去噪原理主要基于其时频分析特性以及信号与噪声在时频域中的性能差异，进行区分和处理^[53]。S-变换作为短时傅里叶变换与连续小波变换的结合，其窗函数可根据信号自适应调整，从而使得时间-频率分辨率能够随频率变化而变化。此特性使得S-变换成为处理非平滑信号的有用工具^[54]。在去噪过程中，S-变换首先将信号从时域转换到时频域，从而获得信号的时频表示。在时频域中，信号和噪声的分布特性往往有所不同。有用信号通常集中在特定的频率和时间范围内，而噪声可能分布在更宽的时频区域。通过由S-变换获得的时间-频率表示可以清晰地观察到时频域中信号和噪声的分布。随后，可以根据信号和噪声的特点设计滤波器或阈值方法来抑制或消除噪声。例如，可以设定一个阈值，使得低于该阈值的噪声成分被视为无效信号而被清除，而高于阈值的信号成分则被保留^[55]。随后，经过处理的时间-频率表示通过S-反变换转换回时域，从而获得去噪信号。S-变换是一个无损且可逆的变换过程，这保证了去噪过程不会导致额外的信息损失或失真。

ST扩展并推广了短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）和连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT），并结合了两者的构想。它优于短时傅里叶变换，因为ST的高斯窗的高和宽可以根据被测量信号频率的变化而变化，从而可以分析频率突变的信号；与小波变换相比，其结果对应于频谱，因此可以从信号中提取任何频率成分的信号特征，同时ST比小波变换具有更好的抗噪性^[56]。然而，S-变换去噪有一定局限性。例如，它可能导致图像细节的损失，且噪声抑制的效果受到信号和噪声频谱重叠程度的影响。此外，使用ST处理高维数据可能导致计算复杂度增高。

2.2.6 希尔伯特-黄变换(HHT)

希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang Transform, HHT)^[57]主要由经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)和希尔伯特变换(Hilbert Transform, HT)组成，可以将多时间尺度的振荡波转化为非线性且非平稳的复杂信号。通过逐个分离本征模态函数(Intrinsic Modal Function, IMF)的组分，得到了每个IMF的Hilbert谱，并获取了与之对应的瞬时频率^[58]。通过分析IMF分量及其对应的Hilbert谱，获得了原始信号的多尺度振荡特性。

对于EMD，任何信号都可以通过连续迭代分解为一定数量的本征模函数成分和一个残差。每个IMF都必须满足以下两个条件。首先，在整个数据范围内，极值点与过零点的数量必须相等，或者最多相差1。另一个是在任何局部点上，极大值和极小值的包络平均值必须等于零^[59]。这个迭代过程即是“筛选”过程，筛选具有两个目的：一是消除奇异的波，使整个序列的曲线变为极大值→零均值→极小值→零均值→极大值这样简单的波形；二是局部的峰和谷大致对称。经过“筛选”得到的每个IMF的任意一点的瞬时频率都是有意义的。Huang等人在提出EMD时，认为任何信号都是由多个IMFs组成，无论在何种情况下，一个信号都会包含数个IMFs，将不同的IMFs之间相互重叠，就能够形成复合信号。EMD去噪实质就是将光谱分解为一系列的IMFs和r，然后根据有用信号和噪声之间的区别确定保留含有用信息的IMFs，最后将其重构形成去噪后的光谱，达到去噪的效果。

与FT和WT方法相比，HHT具有完全自适应、完整性强、重构性强、精度高，并且不受Heisenberg不确定性原理的限制，能够反映信号在时域、频域和能量上的变化特性^[60]。窗函数的时宽和频宽的乘积是一个常数，这说明它们不能同时改善，也就是说，时间精度不能同时提高。HHT不受Heisenberg不确定性原理的限制，并且可以在时间和频率上都达到一定的精度。HHT已成功应用于故障诊断、语音识别、生物医学等领域。然而，HHT的谱去噪在分析化学中的应用很少。

2.2.7 局部均值分解（LMD）

Smith最早提出了局部均值分解（Local Mean Decomposition, LMD）法，并讨论了其在?脑电图信号处理中相对于EMD的优势^[61]。作为非线性和非平稳信号的自适应分解方法，LMD已被广泛用于故障诊断。

LMD可以自适应地将信号分解为一组主要的“模式”，即乘积函数(Product function, PF)。在LMD迭代过程中，首先采用移动平均法，以原始光谱信号的两个连续极值间的时间延续为加权值，得到原始光谱信号的包络估计值和连续均值，然后从原始信号中减去平均值以获得信号h(t)，并除以包络估计^[62]。这个过程的目的是获得一个包络平坦的信号，这种信号被称为纯调频(Frequency Modulation, FM)信号。如果获得的信号没有平坦的包络，则重复该过程，且重复次数应为迭代次数^[63]。包络信号可以从派生的FM信号中得出，第一个PF是通过将包络信号和FM信号相乘获得的。从原始信号中减去乘积函数，剩余的信号将以上述过程作为新的原始信号生成第二个PF，依此类推，直到剩余的信号成为单调信号，如图5所示。

图 5 LMD示意图

与EMD相比，LMD更适合信号分解和处理。首先，LMD可以直接获取频率和瞬时包络幅度，而无需进行Hilbert变换，因此不受Hilbert变换的限制。另一个优势是LMD集成了两个信号处理程序：分解和解调，这使得它可以将信号分解为更少的层次，并在分解结果中保留更多的有用信息。此外，信号的LMD改善了EMD产生的模式混叠效应，并且避免了当信号分解时，EMD产生过度包络和欠包络现象。然而，在LMD去噪之后，有时仍然会出现端点效应。

2.2.8 变分模态分解（VMD）

变分模态分解（Variational Mode Decomposition, VMD）是由Dragomiretskiy和Zosso提出的^[64]。该方法通过迭代搜索来寻找变分模态的最优解，自适应地确定每个模态的中心频率及其相应的带宽，并获得每个模态的分解特征函数^[65]。相较于EMD，将局部极值的计算及利用插值形成包络替换为受约束的优化模型，同时保留了EMD的全局递归滤波结构，这种方法更加稳健且更善于处理噪声。

变分模态分解的基本前提是将原始信号分解为若干具有不同中心频率和有限带宽的IMFs。在这个过程中，每个 IMF 的参数通过迭代优化不断调整，以便分解结果满足特定的约束条件，例如最小化估计带宽。然后对分解得到的各个 IMF 进行分析。可以观察IMF的波形、频谱特征、能量分布和其他特征，以确定哪些 IMF 主要包含噪声成分。一般来说，高频IMF更容易受到噪声干扰，而低频IMF可能包含更大比例的有用信号成分^[66]。对于被确定为主要是噪声的 IMF，可以通过应用替代处理技术来实现去噪。例如，可以使用阈值处理，通过将 IMF 中的小幅度值置零或收缩来去除噪声。最后，将去噪后的 IMF 和那些被认为主要包含有用信号的 IMF 进行重构，以获得去噪后的信号。

VMD解决了EMD中存在的端点效应和模式混合问题^[⁶⁷^,⁶⁸^]，并且其理论基础更为坚实。它能够缓解时间序列的非平稳性，分解和提取相对稳定的子序列以及各种频率尺度，使其非常适合非平稳序列。然而，与EMD一样，它需要手动设置分解模式的数量，过多或过少的模式将影响分解的准确性。

2.3 基于建模的去噪方法

2.3.1 偏最小二乘法（PLS）

偏最小二乘法（Partial Least Squares, PLS）回归是化学计量学中应用最广泛的多元变量校准工具之一。PLS应用于分析仪器信号的去噪，可以通过降维和建模有效地抑制噪声，并提取有用的信号信息，从而提高信号的质量以及分析结果的准确性^[69]。

此方法的基本原理是分解矩阵X和Y，其中X代表独立预测因子（从校准样本集中收集的分析信号），Y代表目标参数（例如校准样本集中目标分析物的浓度）。这些矩阵被转化到一个新的潜在变量（Latent Variable, LV）空间，其中潜在变量沿着数据方差的方向绘制。B向量，即回归系数向量，将独立的预测因素转化为目标参数，LV的数量决定了转化的程度。第一个LV与最大的方差源（与Y相关）相关，而随后的LV则与较小的方差源相关。在光谱数据的背景下，典型的测量噪声相比有意义的光谱带而言，可视为较小的方差源。因此，在计算B时改变LV的数量，可将谱噪声与信号分离。

PLS算法能够有机地综合多种传统多元回归算法的优点。例如，在自变量之间或多个元素之间存在相互干扰的情况下，它能够成功对数据进行建模^[70]。该算法在识别和辨识光谱信息及噪声方面表现出色，在某些情况下，还能区分非随机噪声。此外，该算法对自变量的回归系数提供了充分的解释。所有的自变量均包含在最终的PLS回归模型中，该模型构建相对简单、计算工作量小、稳定性极高且有利于对元素进行定性和定量分析。尽管PLS算法有许多优点，但也有不足之处需要注意。在开发PLS回归模型时，主成分数量的选择是至关重要的。过多的主成分可能导致模型中包含大量无关噪声，从而增加计算负担并导致过度拟合。反之，主成分数量不足可能会遗漏模型中有用的信息，导致拟合不足。主成分数量过多或不足都会降低模型的识别能力，从而影响最终的预测精度，无法满足实验要求。在使用PLS进行材料要素的识别和分类时，要尽量避免这些缺点并发挥其优点。

2.3.2 深度学习（DL）

2006年，Hinton等人提出了深度信念网络的神经网络，使用逐层训练策略进行训练^[71]。这种训练策略可以用来训练各种类型的深度神经网络，并且已经取得了显著的成就^[72]。“深度学习”这一术语已广泛为人所知。

在深度学习算法出现之前，传统的去噪算法发展并得到应用，包括WT、VMD等。其中，WT是最广泛使用的方法，它通过将噪声信号分解为不同的尺度频率段，在不同频率段进行处理来过滤噪声信号^[73]。然而，传统的去噪算法有一定的局限性。首先，它们需要手动选择一个合适的滤波器来匹配数据，这需要专业知识和经验。其次，传统算法的性能取决于噪声类型、信噪比、信号复杂性等因素。因此，对于复杂的去噪任务，传统算法的效果并不理想。

深度学习去噪算法采用深度学习技术去除噪声^[74]。与传统方法不同，其算法使模型能够自动学习数据的特征和去噪方法，无需手动选择特定的模型和滤波器。深度学习技术包含三个关键要素：数据、模型和学习。模型对应神经网络，学习代表模型参数的优化策略，而数据提供了模型学习的特征。深度学习的最终目标是通过数据训练模型，从而使得训练好的模型能够在之前未见过的数据上表现良好^[75]。为了使用深度学习技术对信号进行去噪，首先需要准备一个数据库，该数据库包括训练集和验证集。然后构建去噪模型，使用训练集进行训练，并调整模型的参数以获得最佳的去噪模型。最后，使用该模型预测测试集以获得噪声或有效信号，从而实现去噪的目的^[76]。具体的去噪过程如图6所示。

图 6 深度学习去噪过程

然而，大量的模型参数需要调整，这给建立最优模型带来了困难。此外，在实际测量过程中，也难以获得大量的建模样本。

综上所述，基于平滑的分析仪器去噪方法有移动平均平滑、Whittaker平滑、Savitzky-Golay平滑与Norris-Williams噪声消除。这些方法仅进行一次去噪，且在去噪过程中只是将快速起伏的尖锐毛刺去除，使得光谱看起来更加光滑，而无法对有用信息和噪声进行甄别。基于分解的去噪方法包括奇异值分解、傅里叶变换、小波变换、稀疏分解、S-变换、Hilbert-Huang变换、局部均值分解和变分模态分解等八种方法。上述方法都是基于光谱信号与噪声之间频率特征的差异而实现的。一般情况下，噪声的频率较高并且振幅较小。因此通过去除高频率的信号，重构低频率的信号来获得去除噪声后的光谱，同时在去噪过程中应保持信号的形状和完整性。基于建模的去噪方法有偏最小二乘法与深度学习。它们是在噪声信号与对应的纯信号之间建立模型，然后将新的未知光谱信号输入已建立的模型中对噪声的特征进行预测，最终获得去噪光谱。这些方法的中英文名称显示在表1中。其中，变分模态分解因其坚实的理论基础和可以克服模态混叠与端点效应等优点已广泛应用于各个领域，具有很大的发展前景。在有大量的训练样本的前提下，深度学习也不失为一种去噪的好方法。

表 1分析仪器去噪方法的分类

类别	分析仪器去噪方法	英文名称	名称缩写
基于平滑	移动平均平滑	Moving average smoothing	MA
	Whittaker 平滑	Whittaker smoother	WS
	Savitzky-Golay平滑	Savitzky-Golay smoothing	SG
	Norris-Williams	Norris-Williams	NW

续表 1分析仪器去噪方法的分类

类别	分析仪器去噪方法	英文名称	名称缩写
基于分解	奇异值分解	Singular value decomposition	SVD
	傅里叶变换	Fourier transform	FT
	小波变换	Wavelet transform	WT
	稀疏分解	Sparse decomposition	SD
	S-变换	S-transform	ST
	Hilbert-Huang变换	Hilbert-Huang transform	HHT
	局部均值分解	Local mean decomposition	LMD
	变分模态分解	Variational mode decomposition	VMD
基于建模	偏最小二乘法	Partial least squares	PLS
	深度学习	Deep learning	DL

3 解决去噪问题的四种策略

3.1 噪声分布不均

在噪声信号不同的区域噪声分布也有所不同，大多数情况下实验的条件是不同的，温度和湿度的不稳定性等因素也会导致噪声分布不均匀。对于噪声分布不均匀的信号，如果将高噪声范围内的噪声完全消除，无噪声范围会发生畸变。因此，对于噪声分布不均匀的信号，对信号整体的去噪效果并不理想。为解决这一问题，可以采取分段去噪的策略。根据噪声分布的强弱情况，将噪声分为几段，每段采用一定的去噪方法分别去噪，最后将各段去噪后的信号加和。基于这一思路，Ling等人提出了一种分段镜像扩展局部均值分解（PME-LMD）方法，并用于近红外光谱的去噪，如图7所示。首先，将原始的噪声不均匀的近红外光谱分为三个区间，然后利用LMD对扩展后的近红外光谱进行分解。

图 7 PME-LMD的流程图^[63]

3.2 模态混叠效应

混叠模式的问题首次在间歇信号EMD分解中被发现。间歇信号可以理解为在某一时刻或极短时间间隔内出现的小幅度高频信号。当混叠模式出现时，分解所得到的分量没有意义。

为了解决这一问题，提出了LMD，这是一种基于信号本身特征的自适应分解方法。该方法能够提取具有实际物理意义的乘积函数(PF)分量。每个PF都是纯调频信号与包络信号的乘积，这使得能够在空间的所有尺度上清晰准确地表示信号能量分布规律。这样，LMD不仅解决了模态混叠的问题，还提供了更详细的时间-频率分布，有利于对信号特性进行更全面的分析。

此外，Wu等人提出了集合经验模态分解（EEMD），这是一种增强的自适应信号处理技术，旨在解决EMD中的模态混叠问题。EEMD的基本前提是将一组白噪声序列纳入EMD的分解过程中，从而增强信号的随机性，进而减少模态混叠现象。

3.3 端点效应

端点效应是指去噪时信号的两端容易失真的现象。发生端点效应时，尽管噪声得到了很好的去除，中间的信号保持原形，但两端的信号发生变形。在三类去噪方法中，基于分解的去噪方法容易产生端点效应，尤其是小波变换和经验模态分解。

为解决分解算法存在的端点效应，主要有镜像法、极值延拓法等。镜像法是在信号两端进行边界反射以形成闭合曲线，从而得到完整的包络曲线。极值延拓法是基于端点的一个特征波，在两端分别延伸极大值和极小值，以减少端点效应的影响。多项式拟合法是利用端点处三个极值点通过多项式拟合计算出的值作为端点处极值点的近似值，以确定原信号极值序列的边界极值点的位置。平行延拓法则利用了靠近端点的两个相邻极值点（一个极大值和一个极小值）处斜率相等的特点，并人为定义两端的两个极值点。

除了上述策略，VMD能够自适应地匹配每个模式的最佳中心频率和有限带宽，从而促进IMF和信号频域的有效分离。因此，VMD方法能够有效改善端点效应。

3.4 尖峰信息丢失

由于噪声和尖锐峰同时属于高频信息，因此无论是基于平滑的去噪方法还是基于分解的去噪方法在去噪的同时都容易产生尖锐峰的丢失问题。因此，如果原始信号包含尖锐峰，采用单一的去噪方法对信号整体去噪往往会使尖锐峰变低。

为了解决这一问题，Luo等人提出了一种名为峰值提取与保留（Peak Extraction and Retention, PEER）的算法，该算法可以同时进行峰提取和保留，以自适应地去除重叠的峰和尖峰^[77]。其工作原理可以分为两个关键步骤。首先，利用拉曼光谱的一阶和二阶导数确定信噪比下的拉曼峰，以消除可能在噪声中产生的任何峰信息。其次，在拉曼光谱的左侧使用优化的窗口平滑算法，并将结果与未处理的拉曼峰相结合，以获得去噪的拉曼光谱。图8显示了PEER算法的去噪效果。Lu等借鉴了PEER的思路，将一阶导数和二阶导数确定高信噪比的峰的位置与VMD去噪相结合，用于去噪，如图9所示^[78]。

图 8 (a)以吡啶衍生物和环糊精(2 mM)混合物的拉曼光谱为例，比较S-G、小波和PEER算法的去噪效果。(b)以酸性红18在不同基质中的SERS光谱为例，说明PEER的背景独立去噪效果。(c) S- G、小波以及PEER算法的SNR依赖性去噪效果。(d)以头孢呋辛酯片的积分时间依赖拉曼光谱为例，通过信噪比依赖的偏差元素率差来进行相应的定量评价。(A) 是头孢呋辛酯片在使用PEER去噪前后的拉曼光谱。(B) 是从头孢呋辛酯片的时间依赖性拉曼光谱中提取的信噪比依赖性偏差元素率^[77]。

图 9峰值提取结合变分模态分解（Peak extraction variational mode decomposition, PE-VMD）的去噪流程图

4 结论与展望

在本文中，对用于分析仪器中的信号去噪方法进行了系统总结，旨在阐明这些技术的发展现状及所遇挑战。对各种去噪技术的分析揭示了信号去噪在提高分析仪器性能、确保获取数据的完整性与可靠性中发挥的关键作用。可见，随着科技的进步，去噪方法正变得越来越智能化与自动化。这不仅体现在所采用算法的复杂性和准确性上，也体现在对噪声特性的深度理解与适应能力上。

在未来的研究中，建议进一步研究噪声的特性及其来源，旨在开发出更为针对性的去噪方法。其次，应开发出更高效、更稳定的算法以适应不同的噪声环境和信号特性。此外，加强跨学科合作，以便结合统计学、信号处理、机器学习及其他相关领域的知识和技术，这将促进更加高效的去噪技术的发展。最后，必须考虑算法的实际应用，以确保去噪技术不仅在理论上可行，而且在实际中能有效提升分析仪器的性能。

总之，分析仪器信号去噪技术的发展对于提高分析仪器的性能至关重要。通过算法去噪与硬件去噪相结合，从而促进去噪技术的进一步发展，为科学研究和工业应用提供更可靠更准确的高信噪比信号。

参考文献

[1] Qing Xu, Ning Ding, Dan Ma, Hongjian Lin, Bingyong Lin, Xiaoming Ma, Jie Yang, Longhua Guo, Portable Hadamard-transform Raman spectrometer: A powerful analytical tool for point-of-care testing. Analytical Chemistry. 2024; 96(30): 12217-12224.

[2] Yunfan Qiu, Lili Du, Sarah D. Cady, David Lee Phillips, & Arthur H. Winter, Optical and EPR detection of a triplet ground state phenyl nitrenium ion. Journal of the American Chemical Society, 2024, 146(15), 10679-10686.

[3] Xiaoying Feng, Yixin Kuang, Liwu Gan, Suxin Zhou, Juan Zheng, Gangfeng Ouyang, Solid phase microextraction for the bioanalysis of emerging organic pollutants, Trac-Trends in Analytical Chemistry, 2024, 177, 117786.

[4] Alison Rodger, Koushik Venkatesan, Janice Rae Aldrich-Wright, Craig Brodie, Alfonso E. Garcia-Bennett, Integrated circular dichroism and circularly polarized luminescence measurements, Analytical Chemistry, 2024, 96, 3810-3816.

[5] Zhen Shan, Jianhua Yang, Miguel A. F. Sanjuán, Chengjin Wu, Houguang Liu, A novel adaptive moving average method for signal denoising in strong noise background, European Physical Journal Plus, 2022, 137(1): 50.

[6] Ming Feng, Zhihui Wei, Jun Zhang, Unsupervised low-light image enhancement in the Fourier transform domain. Applied Sciences-Basel, 2024, 14(1): 332.

[7] Bruno Debus, Hadi Parastar, Peter Harrington, Dmitry Kirsanov, Deep learning in analytical chemistry, Trac-Trends in Analytical Chemistry, 2021, 145: 116459.

[8] Puneet Mishra, Dario Passos, Federico Marini, Junli Xu, Jose M. Amigo, Aoife A. Gowen, Jeroen J. Jansen, Alessandra Biancolillo, Jean Michel Roger, Douglas N. Rutledge, Alison Nordon, Deep learning for near-infrared spectral data modelling: Hypes and benefits, Trac-Trends in Analytical Chemistry, 2022, 157: 116804.

[9] Xuyang Liu, Hongle An, Wensheng Cai, Xueguang Shao, Deep learning in spectral analysis: Modeling and imaging, Trac-Trends in Analytical Chemistry, 2024, 172: 117612.

[10] Jiang Ji, Pengfei Gao, Nannan Jia, Rui Yang, Hanming Guo, Qi Hu, Songlin Zhuang, Spectral smoothing with adaptive multiscale window average, Spectroscopy and Spectral Analysis, 2015, 35(05): 1445-1449.

[11] Edward T. Whittaker. On a new method of graduation, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 1923, 41: 63-75.

[12] Paul H. C. Eilers, A perfect smoother, Analytical Chemistry, 2003, 75: 3631-3636.

[13] Sok Kiang Lau, Peter Winlove, Julian Moger, Olivia L. Champion, Richard W. Titball, Zihua Yang, Zhengrong Yang, A bayesian Whittaker-Henderson smoother for general-purpose and sample-based spectral baseline estimation and peak extraction, Journal of Raman Spectroscopy, 2012, 43: 1299-1305.

[14] Jiaruo Liang, Huazhou Chen, Qiang Qin, FT-NIR spectroscopy and Whittaker smoother applied to the quantitative determination of organic matter and total nitrogen in soil, Chinese Journal of Analysis Laboratory, 2013, 32: 11-15

[15] Huazhou Chen, Wu Ai, Quanxi Feng, Zhen Jia, Qiqing Song, FT-NIR spectroscopy and Whittaker smoother applied to joint analysis of duel-components for corn, Spectrochimica Acta Part A: Molecular and Biomolecular Spectroscopy, 2014, 118: 752-759

[16] Paul H. C. Eilers, Brian D. Marx, Flexible smoothing with B-splines and penalties, Statistical Science, 1996, 11: 89-121.

[17] Aaron A. Urbas, Steven J. Choquette, Automated spectral smoothing with spatially adaptive penalized least squares, Applied Spectroscopy, 2011, 65(06): 665-677.

[18] Guiyan Yang, Lu Li, He Chen, Siying Chen, Yinchao Zhang, Pan Guo, Baseline correction method for raman spectra based on generalized Whittaker Smoother, Chinese Journal of Lasers, 2015, 42(09): 368-376.

[19] Carlos Cobas, Applications of the Whittaker Smoother in NMR spectroscopy, Magnetic Resonance in Chemistry, 2018, 56(12): 1140-1148.

[20] Abraham Savitzky, Marcel J. E. Golay, Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures, Analytical Chemistry, 1964, 36: 1627-1639.

[21] Gabriel Vivo-Truyols, Peter J. Schoenmakers, Automatic selection of optimal Savitzky-Golay smoothing, Analytical Chemistry, 2006, 78: 4598-4608.

[22] Anxin Zhao, Xiaojun Tang, Zhonghua Zhang, Junhua Liu, The parameters optimization selection of Savitzky-Golay filter and its application in smoothing pretreatment for FTIR spectra, IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications, 2014: 516-521.

[23] Sinead J. Barton, Tomas E. Ward, Bryan M. Hennelly, Algorithm for optimal denoising of Raman spectra, Analytical Methods, 2018, 10: 30.

[24] Michael Schmid, David Rath, Ulrike Diebold, Why and how Savitzky?Golay filters should be replaced, ACS Measurement Science Au, 2022, 2: 185?196.

[25] Xinhui Yin, Wenwen Gu, Near infrared spectrum denoising based on lifting wavelet transform and Savitzky-Golay filter, Chinese Journal of Sensors and Actuators, 2023, 36(03): 405-410.

[26] Karl H. Norris, Pata Clair Williams, Optimization of mathematical treatments of raw near-infrared signal in the measurement of protein in hard red spring wheat, Cereal Chemistry, 1984, 61(2):158-165.

[27] Vitas Svedas, Spectral pre-treatment for diffuse transmittance linearity improvement, Journal of Near Infrared Spectroscopy, 2004, 12(06): 347-358.

[28] Maryam Asachi, Ali Hassanpour, Mojtaba Ghadiri, Andrew Bayly, Assessment of Near-Infrared (NIR) spectroscopy for segregation measurement of low content level ingredients, Powder Technology, 2017, 320: 143-154.

[29] Pascal Man, Christian Bonhomme, Florence Babonneau, Denoising NMR time-domain signal by singular-value decomposition accelerated by graphics processing units, Solid State Nuclear Magnetic Resonance, 2014, 61-62: 28-34.

[30] Dangdang Dai, Xianpei Wang, Yu Zhao, Meng Tian, Jiachuan Long, Guowei Zhu, Longfei Zhang, Research on denoising ultraviolet spectrum signal with an improved effective singular value selection method, Spectroscopy and Spectral Analysis, 2016, 36: 2139-2143.

[31] Xianguang Fan, Tengda Wu, Yuliang Zhi, Xin Wang, Denoising method for Raman imaging data based on Singular value decomposition and median absolute deviation, Spectroscopy and Spectral Analysis, 2020, 40(02): 436-440.

[32] Nallig Leal, Eduardo Zurek, Esmeide Leal, Non-Local SVD denoising of MRI based on sparse representations, Sensors, 2020, 20: 1536.

[33] Hongqiu Zhu, Fei Cheng, Haonan Hu, Can Zhou, Yonggang Li, Denoising algorithm of spectral signal based on FFT SVD, Spectroscopy and Spectral Analysis, 2022, 42(01): 277-281.

[34] Thomas Meyer, Joachim Oelichmann, Hanspeter Kellerhals, Resolution and suppression of mechanical noise in FT-NIR spectroscopy, Trac-Trends in Analytical Chemistry, 2006, 25(01): 19-23.

[35] M. Farooq Wahaba, Fabrice Grittib, Thomas C. O’Haver, Discrete Fourier transform techniques for noise reduction and digital enhancement of analytical signals, Trac-Trends in Analytical Chemistry, 2021, 143: 116354.

[36] Fangjia Yan, Bingzhao Li, Spectral graph fractional Fourier transform for directed graphs and its application, Signal Processing, 2023, 210: 109099

[37] Beata Walczak, Désiré Luc. Massart, Noise suppression and signal compression using the wavelet packet transform, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 1997, 36: 81-94.

[38] Wim. Sweldens, The lifting scheme: a construction of second generation wavelets, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1998, 29 (2): 511-546.

[39] Xueguang Shao, Wensheng Cai, A novel algorithm of the wavelet packets transform and its application to denoising of analytical signals, Analytical Letters, 1999, 32(4): 743-760.

[40] Lixian Liu, Huiting Huan, Wei Li, Andreas Mandelis, Yafei Wang, Le Zhang, Xueshi Zhang, Xukun Yin, Yuxiang Wu, Xiaopeng Shao, Highly sensitive broadband differential infrared photoacoustic spectroscopy with wavelet denoising algorithm for trace gas detection, Photoacoustics, 2021, 21: 100228.

[41] Qiang Zhang, Nian Liu, Shuangshuang Wang, Leiqing Pan, Nondestructive determination of GABA in germinated brown rice with near infrared spectroscopy based on wavelet transform denoising, International Journal of Agricultural and Biological Engineering, 2021, 14(3): 200-206.

[42] Kaiyuan Zheng, Chuantao Zheng, Zidi Liu, Qixin He, Qiaoling Du, Yu Zhang, Yiding Wang, Frank K. Titte, Near-infrared broadband cavity-enhanced sensor system for methane detection using a wavelet denoising assisted Fourier-transform spectrometer, Analyst, 2018, 143: 4699-4706.

[43] Dazhou Zhu, Baoping Ji, Chaoying Meng, Bolin Shi, Zhenhua Tu, Zhaoshen Qing, Study of wavelet denoising in apple’s charge-coupled device near-infrared spectroscopy, Journal of Agricultural and Food Chemistry, 2007, 55: 5423?5428.

[44] Da Chen, Zhiwen Chen, Edward Grant, Adaptive wavelet transform suppresses background and noise for quantitative analysis by Raman spectrometry, Analytical and Bioanalytical Chemistry, 2011, 400: 625-634.

[45] Guangyi Chen, Shenen Qian, Denoising of hyperspectral imagery using principal component analysis and wavelet shrinkage, IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2011, 49: 973-980.

[46] Peijun Song, Jun Xu, Xinjie Liu, Zhi Zhang, Xinglong Rao, Ricardo P. Martinho, Qingjia Bao, Chaoyang Liu, Stationary wavelet denoising of solid-state NMR spectra using multiple similar measurements, Journal of Magnetic Resonance, 2024, 359: 107615.

[47] Catherine Perrin, Beata Walczak, Desire Luc Massart, The use of wavelets for signal denoising in capillary electrophoresis, Analytical Chemistry, 2001, 73, 4903-4917.

[48] Stéphane G. Mallat, Zhifeng Zhang. Matching pursuits with time-frequency dictionaries, IEEE Transactions on Signal Processing, 1993,41(12):3397-3415.

[49] Guanqun Ma, Tingzhu Huang , Jie Huang, Chaochao Zheng, Local low-rank and sparse representation for hyperspectral image denoising, IEEE Access, 2019, 7: 79850-79865.

[50] Chengyi Li, Shufang Tian, Spectra denoising of hyperspectral thermal infrared emissivity product via sparse representation over learned dictionaries, IEEE International geoscience and remote sensing symposium (igarss), 2016, 6529-6532.

[51] Biao Sun, Jinglei Zhai, Zilong Wang, Tengyu Wu, Siwei Yang, Yuhao Xie, Yunfeng Li, Pei Liang, Sparse decomposition enables adaptive and accurate Raman spectral denoising, Talanta, 2024, 266: 125120

[52] Robert Glenn Stockwell, Lalu Mansinha, Robert P. Lowe, Localization of the complex spectrum: the S transform, IEEE Transactions on Signal Processing, 1996, 44(04): 998-1001.

[53] Jianhua Cai, Yongliang Xiao, Xiaoqin Li, De-noising of tobacco near infrared spectroscopy based on generalized S transform, Acta Tabacaria Sinica, 2017, 23(04): 9-14.

[54] Jianhua Cai, Yongliang Cai, Xiaoqin Li, Denoising of near infrared spectra based on generalized S transform and singular value decomposition, Acta Optica Sinica, 2018, 38(04): 390-399.

[55] Junfeng Dai, Lihu Fu, The application of generalized S-transform in the denoising of surface plasmon resonance (SPR) spectrum, Analytical Methods, 2023, 15: 6184.

[56] Junfeng Dai, Lihu Fu, Denoising of surface plasmon resonance (SPR) spectra using the generalized s-transform and the bald eagle search (BES) algorithm, Analytical Letters, 2023, 1-11.

[57] Norden E. Huang, Zheng Shen, Steven R. Long, Manli C. Wu, Hsing H. Shih, Quanan Zheng, Nai-Chyuan Yen, Chi-chao Tung, Henry H. Liu, The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis, Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1998, 454: 903-995.

[58] Fengjie Fan, Fenglai Xuan, Yang Bai, Rushuai Gao, Research on denoising method of three dimensional fluorescence spectrum of traditional Chinese medicine based on EEMD, High Technology Letters, 2019, 29: 78-84

[59] Xihui Bian, Mengxuan Ling, Yuanyuan Chu, Peng Liu, Xiaoyao Tan, Spectral denoising based on Hilbert-Huang transform combined with F-test, Frontiers in Chemistry, 2022, 10: 949461.

[60] Mengxuan Ling, Sumin Lu, Hao Sun, Dan Liu, Xihui Bian, X-ray diffraction spectral denoising based on empirical mode decomposition and T-test, Chinese Journal of Analytical Chemistry, 2023, 51(03): 445-453.

[61] Jonathan S Smith, The local mean decomposition and its application to EEG perception data, Journal of the Royal Society Interface, 2005, 2: 443-454.

[62] Le Sun, Tianming Zhan, Zebin Wu, Liang Xiao, Byeungwoo Jeon, Hyperspectral mixed denoising via spectral difference-induced total variation and low-rank approximation, Remote Sensing, 2018, 10: 1956.

[63] Mengxuan Ling, Xihui Bian, Shuaishuai Wang, Tao Huang, Peng Liu, Shuyu Wang, Xiaoyao Tan, A piecewise mirror extension local mean decomposition method for denoising of near-infrared spectra with uneven noise, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 2022, 230: 104655.

[64] Konstantin Dragomiretskiy, Dmitry Zosso, Variational mode decomposition, IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62: 531-544.

[65] Jiangfeng Guo, Ranhong Xie, Yuexiang Wang, Lizhi Xiao, Jianwei Fu, Guowen Jin, Sihui Luo, Variational mode decomposition for NMR echo data denoising, IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2023, 61: 5902014.

[66] Xihui Bian, Zitong Shi, Yingjie Shao, Yuanyuan Chu, Xiaoyao Tan, Variational Mode Decomposition for Raman Spectral Denoising, Molecules, 2023, 28 (17): 6406.

[67] Caizhi Yu, Yutai Lu, Yue Li, Peng Wang, Changku Sun, Micro-vibration signal denoising algorithm of spectral morphology fitting based on variational mode decomposition, Applied Sciences. 2022, 12: 12570.

[68] Salim Lahmiri, MouNIR Boukadoum, Biomedical image denoising using variational mode decomposition, IEEE Biomedical Circuits and Systems Conference Proceedings, 2014, 340-343.

[69] Vitaly Panchuk, Valentin Semenov, Andrey Legin, Dmitry Kirsanov, Signal smoothing with PLS regression, Analytical Chemistry, 2018, 90: 5959-5964.

[70] Genwei Zhang, Silong Peng, Shuya Cao, Jiang Zhao, Qiong Xie, Quanjie Han, Yifan Wu, Qibin Huang, A fast progressive spectrum denoising combined with partial least squares algorithm and its application in online Fourier transform infrared quantitative analysis, Analytica Chimica Acta, 2019, 1074: 62-68.

[71] David E. Rumelhart, Geoffrey E. Hinton, Ronald J. Williams, Learning representations by back-propagating errors, Nature, 1986, 323(6088): 533-536.

[72] Lucas Resende Pellegrinelli Machado, Mariana Oliveira Santos Silva, Joao Luiz Elias Campos, Diego Lopez Silva, Luiz Gustavo Can?ado, Omar Paranaiba Vilela Neto, Deep-learning-based denoising approach to enhance Raman spectroscopy in mass-produced graphene, Journal of Raman Spectroscopy, 2022, 53:863-871.

[73] Irem Loc, Ibrahim Kecoglu, Mehmet Burcin Unlu, Ugur Parlatan, Denoising Raman spectra using fully convolutional encoder-decoder network, Journal of Raman Spectroscopy, 2022, 53(8): 1445-1452.

[74] Dicheng Chen, Wanqi Hu, Huiting Liu, Yirong Zhou, Tianyu Qiu, Yihui Huang, Zi Wang, Meijin Lin, Liangjie Lin, Zhigang Wu, Jiazheng Wang, Hao Chen, Xi Chen, Gen Yan, Di Guo, Jianzhong Lin, Xiaobo Qu, Magnetic resonance spectroscopy deep learning denoising using few in vivo data, IEEE Transactions on Computational Imaging, 2023, 9: 448-458.

[75] Zhongzheng Zhou, Chun Li, Xiaoxue Bi, Chenglong Zhang, Yingke Huang, Jian Zhuang, Wenqiang Hua, Zheng Dong, Lina Zhao, Yi Zhang, Yuhui Dong, A machine learning model for textured X-ray scattering and diffraction image denoising, NPJ Computational Materials, 2023, 9(1): 58.

[76] Yang Gao, Meng Wei, Jinbao Zhu, Yida Wang, Yang Zhang, Tingting Lin, An Intelligent Denoising method for nuclear magnetic resonance logging measurement based on residual network, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2023, 72: 2510311.

[77] Siheng Luo, Xin Wang, Ganyu Chen, Yi Xie, Wenhan Zhang, Zhifan Zhou, Zhimin Zhang, Bin Ren, Guokun Liu, Zhongqun Tian, Developing a peak extraction and retention (PEER) algorithm for improving the temporal resolution of Raman spectroscopy, Analytical Chemistry, 2021, 93: 8408-8413.

[78] 卢素敏，郝悦，石梓彤，初园园，张妍，卞希慧.峰值提取结合变分模态分解的复杂样品光谱去噪方法研究[J].分析化学,2024,52(09):1277-1286.

通讯作者简介：

卞希慧，女，1983年生，教授，主要进行化学计量学算法研究及其在中药、食品、环境等方面的应用研究。

E-mail：bianxihui@163.com

第一作者简介

严雅婧，女，2002年生，硕士研究生，研究方向为信号去噪算法研究。

E-mail：13096547245@163.com