两个西格玛——测量计量基本概念

应助达人

规矩湾锦苑 ：

史老师的开场白说的非常在理，早在读书时，计量专业的老师就告诉我们：“测量得到N个数值，用贝塞尔公式算得的σ（实验标准偏差），是单值的西格玛。取N个数值的平均值，平均值的分散性用σ(平)表示，σ(平)=σ/√N 。”
　　这句话明明白白地告诉我们，σ是通过n次重复性实验得到的实验标准偏差。如果以单次测得值作为测量结果，它（单值）的标准差就是n次重复性实验得到的σ。如果“取N个数值的平均值”，即实际以N次测量的算术平均值作为测量结果，这个测量结果的“分散性用σ(平)表示，σ(平)=σ/√N ”（注：一定要区分重复性实验次数n与实际给出测量结果时测量次数N的区别）。因此，测量结果的标准差要不要除以√N，和“常量测量”与“统计测量”毫无瓜葛，只看给出的测量结果通过多少次测量取平均值，只与最终给出测量结果的测量次数N有关，当N=1时，就是单次测得值作为测量结果（单值）的标准差σ。
　　史老师已经认可了在经典测量（“常量测量”）中，“多次测量，取平均值的西格玛除以根号N，表明增加测量次数，减小了随机误差。这是正确的作法”，但从帖子的内容来看尚不认可“统计测量”中测量次数的影响。其实很简单，假设n次测量作为一个（一组）统计测量给出测量结果A1，A1的标准差设定为σ的话，我们作N组这样的测量，将得到A1、A2、……AN共N个测量结果，那么以A(均)＝（A1＋A2＋……＋AN）/N为最终统计测量的结果，A(均)的标准差必为σ/√N，说明σ(平)=σ/√N照样适用于“统计测量”。
　　所以，“常量测量”时单次测量算作一个测量方案，“统计测量”时取n次测量的平均值算作一个测量方案，它们的标准差如果都记为σ的话，各自作N次相同的测量方案取平均值为最终测量结果，无论是常量测量还是统计测量，测量一次，用单值的西格玛σ，测量N次取平均值，就要用平均值的西格玛σ/√N。

应助达人

星空漫步 ：
单次测量用单值西格玛σ大家都没有异议。
如果被测量是常量的话，N次测量的平均可以使用σ(平)=σ/√N，此时的σ所反映的是测量仪器的重复性精度。楼上两位的分歧在于变量的多次测量是否可以按常量多次测量一样，简单地直接用σ(平)=σ/√N。
在此我个人赞成史老的意见。
我认为变量的多次测量不能按常量多次测量一样，简单地直接用σ(平)=σ/√N，这样算出来的σ(平)含义不明。
我的理解是：
既然是变量，那么用同一仪器对各变量分别做多次测量时，尽管表征仪器重复性的σ值相同，但由于各变量的分布中心是不同的，所以简单地用σ(平)=σ/√N，不能反映变量均值的离散性，因为这里面少了变量间的离散性。所以此时要想求各变量的均值离散性，恐怕需要对各变量分别做N次测量，最后利用N测量的各变量各自的均值，计算均值间的离散，即此时的单值σ(N)。用各变量N次测量的均值所计算出来的σ(N)，与2楼直接计算出来的σ(平)=σ/√N，结果是两回事。全体变量总的离散性恐怕要=σ(变量均值)+σ(仪器)。
个人意见，仅供参考。欢迎高手指正！

应助达人

史锦顺 ：
回复 3# 星空漫步
先生注意到变量测量同常量测量的区别，这是重要的。
有一种情况，就是测量仪器的西格玛与被测量的西格玛大致差不多，这种情况没法处理，必须回避。解决的办法是选择测量仪器。选测量仪器的西格玛比被测量的西格玛小到1/3以下，测量仪器的影响就可以忽略了。被测量变化与仪器随机误差都是随机变量，均方合成，测量仪器的影响仅1/18（1加1/9后开方）。当前，时频界这样处理问题已成常规。每个研制者、计量者、测量者都这样处理。
我所称的“统计测量”就是指快变量的情况。一个源，而输出的量值在变。这在电学领域有电压、电流、功率等量；在无线电电子学中、放射性中都有多种变量。温度测量计量也基本上是变量，只是处理得不好，以致有GUM测温度的混沌帐（分不清温度源与温度计）。在时频界，因为测量仪器与标准的等级差别大，常量测量与统计测量不区分就没法工作。因此，时频界是处理得很好的，也是抵制不确定度论的。时频界得过诺贝尔奖的就有五人。又有专用的阿仑方差，不确定度论插不进手。特别是，不管测量100次（秒以下稳定度）、30次（小时稳定度）都是用单值的西格玛，而不用平均值的西格玛。即使取平均值当量值的表征量，也是如此。因为单值的西格玛才是变量分散性的特性，即特征量。平均值的西格玛的数学期望值是零，没法当变量的表征量。

应助达人

史锦顺 ：
回复 2# 规矩湾锦苑
（一）单值的西格玛，不是单次测量的西格玛
请你注意我的用词，是“单值的西格玛”，而你的基本意思是“单次测量的西格玛”。
在我看来，我们讨论两个西格玛，不要扯进单次测量的问题。我们讨论的是精密测量问题，是排除“一次测量”的。因为“一次测量”，只在低档次的、低精度的、粗略的测量行为中出现，在精密测量中是不允许的。说单次测量用“单值西格玛”，实际是混淆视听；只测量一次的场合，十分粗糙，没必要讲究西格玛。在GUM中，就不谈单次测量的西格玛。JJF起草的中国专家，讲了评定的测量次数与应用的测量次数，是脱离实际的。人们都是评了就用，很难想象评定与应用分两种场合。如果分两种场合，评定者不会给出评定时的测量次数，让用户怎么计算？在统计测量的情况下，一次测量是无效测量。量值在变，只测一次不行！
在多次测量中（不是一次测量），存在两个西格玛：“单值的西格玛”（用贝塞尔计算的）和“平均值的西格玛”。常量测量，可以用平均值的西格玛。统计测量，测得值各个是实际值（误差可略，实际值就是真值），量值的分散性必须用单值的分散性表征。“暂时不懂，你慢慢体会去！”（中国计量科学研究院研究员陈成仁网上讲课用语。）
（二）统计测量的特点

【规矩湾锦苑】

测量结果的标准差要不要除以√N，和“常量测量”与“统计测量”毫无瓜葛，只看给出的测量结果通过多少次测量取平均值，只与最终给出测量结果的测量次数N有关……

【史评】这是错话。
一个人见闻有限，缺少某些方面的知识，本是常事，不会有人说什么，但不知道的事情，不要乱说。先生要好好体会体会“统计测量（快变量测量）”这一客观存在。
我讲一下频率测量计量的实际情况。
频率测量的大多数场合是统计测量。频率源的稳定性用阿仑方差来表达。测量100次，而取单值的西格玛。频率值当然取平均值。因为这是变量测量，测量N次，而西格玛不准除以根号N.
如果按不确定度的A类评定。测量100次，就可以除以根号100，那就虚夸指标10倍。宣贯不确定度论的大员们，在许多场合说一不二。就是不敢碰频率测量计量这个领域的事。因为频率界有马凤鸣为主要起草人的《JJF1180-2007》，该规范用定量的准确度，用阿仑方差，就是不用“不确定度”。老史反对不确定度论，实践基础是频率测量计量，法规根据就是《JJF1180-2007》!
不过，我要替规矩湾先生说句话。弄不懂有“统计测量”这一说，世界上大有人在。那些提出不确定度论的美国人，就不懂“统计测量”。最明显的例子是GUM（4.4.3）上的温度测量。就是一笔混沌帐。温度测量的结果，那么大的分散性，竟说不清是温度计的，还是热源的，简直是胡闹！
时代在前进，科学在发展，像不确定度论这样的蒙混，没前途！
（三）统计测量必须用单值的西格玛
【规矩湾锦苑】
测量N次取平均值，就要用平均值的西格玛σ/√N。
【史评】
测量N次，取平均值，是必然的。
1 如果是基础测量（被测量是常量），“用平均值的西格玛σ/√N”是对的。
2 如果是统计测量（被测量是快变化量），量值的分散性，必须用单值的西格玛，不许除以根号N。在时频界，这一点早已不是哪个人的学术主张，而是计量规范的规定，因为必须用阿仑方差，而阿仑偏差就是单值的西格玛。老史不过是把这一点挑明。频率界的作法是对的。其他各界，只要达到一定水平，也必然如此。因为道理是相通的。孵鸡的温箱的温度稳定性，一定用统计测量，表征量用单值的西格玛，如果按常量测量处理，按平均值的西格玛要求，种蛋都成“坏蛋”了！

应助达人

规矩湾锦苑 ：
回复 5# 史锦顺
　　（一）关于单值的西格玛与单次测量的西格玛
　　在测量领域里的，量的“值”自然是通过测量而获得，史老师所讲的“单值”如果不是通过单次测量的测量结果，那么就请老师讲一讲“单值”的来历。
　　在多次测量（n次测量）中存在两个西格玛：“单值的西格玛”和“平均值的西格玛”，你说的这个“多次测量”正是指的对测量方法优劣进行研究的“重复性实验”，通过实验可以得到“单值的σ ”和“平均值的σ ”。当使用所研究的测量方法，直接将测得值作为测量结果时，表示对测量次数不限制，测量一次也可以，此时必须使用“单值的σ ”。如果实际测量N次取平均值作为测量结果，那么此时标准差就是“平均值的σ ” σ(平)=σ/√N。如果将n次实验的测得值取平均值作为测量结果，此时标准差虽然也是“平均值的σ ”，但应该是σ(平)=σ/√n。
　　（二）关于统计测量与常量测量
　　所谓“快变量测量”，快慢本来就是个相对概念。时间段压缩，再慢也是快的；时间段拉伸，再快也是慢的，因此统计测量与常量测量本绝对的分界线。说到底还是检测环境条件的约束，对检测时空的约束。将时间限制在足够短的时间段内测量，再快的“快变量”都可视为“常量”。
　　对于“频率测量”本人确实不明白，我相信论坛中从事频率测量的量友并不是大多数，相对而言从事和见过长度测量和力学测量的人可能更多些。为了让大家明白你的“统计测量”原理，能不能请史老师举出长度测量或力学测量的例子呢？
　　（三）关于统计测量必须用单值的西格玛
　　史老师已经认可“如果是基础测量（被测量是常量），用平均值的西格玛σ/√N是对的”。关于“统计测量”，史老师能不能举例说明“必须”用的那个“单值的西格玛”是如何得到的呢？为了简化描述，例如假设统计测量的次数为10次，这个“小”统计测量的“单值的西格玛”如何计算？如果做10组这样的统计测量，共得100个测得值，这个“大”统计测量的“单值的西格玛”又如何计算？