瓢虫
第1楼2006/03/30
三、捕捉0与1
就现在的技术而言,科学家可以轻易地以雷射光场来激发原子内部的能阶,使电子非常准确地在不同原子能阶间进行跃迁。这一点对于被捕获的离子来说,当然也是轻而易举,但是离子阱更令人讶异的是,我们甚至可以用雷射光场来精确控制原子的外在运动状态。现在我们来解释一下它的原理。为了简单起见,我们只考虑一维的模型,换言之,我们只考虑原子在某一个特定方向上的运动。而且为了更进一步简化计算过程,我们假设原子只有两个能阶,所以现在整个系统可以简化成如下的模型:沿着z方向,有一条理想的「弹簧」,尾端上「黏」着一个二能阶的原子,而且同时有一道激光束照射这原子上。这个系统的汉米顿函数如下: (2)
其中 (3)
在这里 , 为一维谐振子的消灭与产生算符; , 与 为Pauli矩阵;n为谐振子的振动频率;w0为两个原子能阶的频率差;wL为入射光的频率;E0为入射光的电场强度;l为电场与原子的耦合常数;j为入射光的相位。
因为离子的运动为微观的过程,所以在阱中离子的质心位置可由谐振子的消灭与产生算符来表示: (4)
其中 h即所谓的「Lamb-Dicke参数」(Lamb-Dicke parameter),它相当于谐振子基态波包的宽度比上入射光的波长。在「交互作用表象」(interaction picture)中,原子与光场作用的部份可变换成: (5)
其中 。
如果我们把雷射光的频率调为 ,则l为正整数的雷射光频率称为「第l蓝侧带」(the l-th blue sideband),反之则称为「第l红侧带」(the l-th red sideband)。接着,我们进一步要求离子的运动满足以下两个条件:(1)离子在阱中来回振荡的振幅非常小,也就是说离子的运动状态满足Lamb-Dicke 极限,η = 1;(2)原子在两个能阶之间变换的速率非常慢,也就是说只有当原子在阱中来回振荡了很多次后,才会在两个能阶间发生一次跃迁。这相当于要求ν? ,Γ即所谓的「良好解析侧带极限」(well-resolved sideband limit)。综合以上条件,我们就可以将(5)式近似到最低阶。例如我们把雷射光的频率调至第l红侧带,则我们就可以得到以下的交互作用项: (6)
这个汉米顿函数相当于量子光学中描述空腔(cavity)中量子化光场子与原子交互作用的「Jaynes-Cummings模型」。这两个系统差别的地方在于离子阱取代了空腔的角色,而量子化后的离子质心运动则取代了原来空腔中的光子。
除了上述的差别之外,离子阱还有一个很重要的特性,那就是原子与振动模的耦合常数可经由改变外加雷射场的参数(例如强度、相位)来加以调变。这个优点是空腔-原子系统所没有的,因此藉由不同时序的激光脉冲来驱动原子,我们得以准确控制原子的运动状态,这正是以陷获离子(trapped ion)来担任量子位原最基本的要求。例如,我们可以用一系列π-脉冲雷射,来得到谐振子的第n个能量本征态,或是所谓的Fock 态 。作法如下:令 及 分别代表把原子能阶的基态及激态。一开始我们将阱中的离子以雷射冷却至最低的状态 。首先加一道第1蓝侧带的π-脉冲雷射使 ,之后加一道第1红侧带的π-脉冲雷射使 ;重复此过程直到离子的状态变成 。最后再加一道频差 的π-脉冲使得 ,而此时离子的内能态与外在的运动状态是完全分离的。
四、到底是0还是1
现在大家应该对如何在离子阱中备制量子态有了一些了解。在处理量子信息的过程中,量子态的备制相当于把数据写入量子位中。相对于写入的动作,从一个量子位读出数据也同样重要,它相当于量子态的测量。接下来我们来探讨一下,如何以量子跳跃(quantum jump)的方法来测量陷获离子的原子能态。
量子位是由原子能阶中的的基态 及暂稳激发态 构成,他们各自对应到 及 这两种状态。要测量量子位的状态,我们必须在原来的两个原子能阶 及 之外,再找另一个短生命期的辅助原子能阶 ,形成一个三能阶的系统(如图三)。
图三:量子跳跃法中的原子能阶结构(本图取自参考数据[2])。
基本上 的跃迁是「偶极禁制」的(dipole forbidden),但是 之间却有很强的偶极跃迁,而且 与 两者之间的跃迁频率不能太接近。当量子计算进行到某一阶段,原子可能处于 及 的迭加态, 。对量子位进行测量时,用一道频率与 跃迁频率相同的探测雷射照射原子。如果原子在基态 ,则很快被探测雷射激发到能阶 。但是由于 及 之间有很强的耦合,原子停在能阶 的时间不会很长,它马上就会自发辐射放出一个光子后再回到基态 ,完成一个循环。原则上,这个单一光子散射的事件是可以侦测到的,虽然效率不是很高(约为千分之一左右)。但是我们可让探测雷射持续照射原子,使得 这个循环持续发生,让原子在这期间内不断的散射光子。在这数以百万计的光子中只要有数个光子被侦测到,就几乎可以确定原子是在基态。如果原子是停在暂稳态 ,则根本不会有散射光子出现。
量子跳跃法是一种高效率的原子能阶测量方法。它的高效率乃因为我们是直接测量原子周围的热库而非原子本身。每次单独测量的结果都非常明确,原子不是在基态 (原子发出荧光)就是在暂稳态 (原子不发光)。在累积多次的实验结果后,就可决定 的值了。
顺带一提的是,离子阱可以捕获不同种类的离子而这些离子的能阶结构也不尽相同。因此量子位除了可以储存于一个二能阶原子的基态及暂稳态外[如图四(b)],也可以储对于存于原子的基态中的超精细能阶[如图四(c)]或是Zeeman 次能阶[如图四(d)]。
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第2楼2006/03/30
图四:适用于量子计算的陷获离子之能阶结构图。(本图取自参考数据[2])
五、离子阱中的量子计算
1995年,奥地利茵斯布鲁克(Innsburck)大学的J.I. Cirac及P. Zoller提出了利用离子阱来建造量子计算器的构想 [6]。这个模型的基本构想是利用所谓的线性阱将许多的离子排成一直线,形成一维的量子位数组,再藉由操控个别离子(量子位)的状态或是不同离子间的纠缠态(entangled states),以达成量子计算的目的(如图五所示)。
图五:线性离子阱示意图。(本图取自参考数据[2])
图六是Innsburck大学所设计使用的线性离子阱:拉长的电极(红色部份,长度约为1公分大小)上施加了1000伏的射频交流电压(频率为16 MHz),以便将离子陷获在径向上;两端的环形电极上加了约2000伏的电压,用来提供轴心方向上捕获离子的电场。离子(图中标示为绿点)就沿着半径及轴心方向来来回回地振荡,不过由于径向上的捕获频率wr(4MHz)远远大于轴向上的捕获频率wz (700 kHz ),所有被捕获的离子可近似成在轴向上做一维的运动。当离子与离子间的库伦斥力与离子阱的束缚力达到平衡时,每个离子会在自己的平衡位置附近作小幅度的振动,而此时离子与离子间的平均距离约为10微米左右。
图六:Innsburck大学所设计使用的线性离子阱外观及构造。(本图取自Innsburck大学物理系)
在线性阱中运动的离子有一个很重要的特性,那就是他们之间因库伦作用而产生耦合,因此它们的位置不再能以各别离子的运动来描述,而必须考虑整串离子的集体运动 (collective motion),换言之,我们得探讨离子串的简正振动模态(normal modes of vibration)。理论计算的结果显示,N个离子所构成的一维链总共有N个简正模态。其中最低的简正模态就是所有的离子都以相同的振幅同时来回移动(如图七(a)所示),就好像是由N个离子所构成的刚体一般,所以这个模态又称为质心模(center-of-mass mode),它的频率与轴向上的捕获频率wz相等。第二个简正模态称为呼吸模(breathing mode)。在这个振动模态中,位居离子阱中心两侧相对位置的两个离子各自以相同振幅但是相反的方向运动,而每个离子的振幅正比于它与离子阱中心的距离(如图七(b)所示)。
图七:7个陷获离子的集体运动:(a)质心模;(b)呼吸模。(本图取自Innsburck大学物理系)
在Cirac及Zoller的量子计算模型中利用量子化的质心模来传递信息。在他们的构想中,开始的时候先将离子内阱质心模振动以解析侧带冷却(resolved sideband cooling )的方法降至最低的量子态(n=0)。量子信息可以用以下的方式从串行上的任一个离子传送到另一个离子:选定串行上其中一个离子,并假设它的原子能态处在迭加态, 。接着以一道第一红侧带的π-脉冲雷射照这个离子,则我们可以得到下列结果 (7)
也就是说在激光脉冲通过之后,质心模运动会由原来的基态变成基态与第一激发态的线性迭加,而这个运动态的线性迭加又正好对应到原来离子中的内原子态的线性迭加。因为离子串行以质心模振动时,所有的离子都会同步移动,所以原先选定的量子位内的信息就可以藉由质心模传递到串行上的每一个量子位。
以上所述,是在离子阱内实现量子计算的基本原理。透过对单一离子状态的控制程序,及利用质心模来交换量子信息,原则上是可以在离子阱内实现若干基本的逻辑组件,例如控非门。这一部份因篇幅所限,无法详细说明,有兴趣的读者请参阅参考数据[1]。
六、前景与挑战
与其它目前被提出来,可以用来实现量子计算的系统相比,离子阱具有以下优缺点:
优点:
1. 离子的原子能阶有较长的脱散(decoherence)时间。
2. 较高的效率便于利用激光脉冲来备制、操控及量测量子位的状态。
缺点:
1. 外加雷射强度、频率及相位的不稳定性。
2. 离子与真空腔里残存气体原子的碰撞。
3. 振动态与外界因素(例如像电荷)耦合的脱散限制了操作的次数。
4. 雷射聚焦处与离子所在真正位置的误差。
5. 将一列离子同时以雷射冷却至基态,以现行的技术来说是具有相当的困难度。
量子力学的发明绝对是二十世纪中人类最伟大的心智成就之一。在量子力学诞生的五十年后,物理学家解放了深藏在原子内部的巨大能量,从此改变了人类的生活型态。而在量子力学诞生的一百年后,也是电子计算器发明的五十年后,物理学家却尝试着去驯服原子来做计算器的工作,所凭借的只是量子力学里最基本的原理。是再次创造历史,还是不可能的任务,且让我们拭目以待。
参考数据:
[1] M.A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press (2000).
[2] D. Bouwmeester, A. Ekert, and A. Zeilinger, The Physics of Quantum Information, Springer-Verlag Berlin (2000).
[3] P. Shor, Proc. of 35t h Annual Symposium on the Foundations of Computer Science, p. 124.
[4] I. Chuang, et. al., Nature 414, 883 (2002).
[5] G. Werth, Contemp. Phys. 26, 241 (1985).
[6] J.I. Cirac and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).
作者简介
郭西川,国立清华大学物理博士,现任职国立彰化师范大学物理系副教授。研究专长:量子光学、统计物理。
Email:scgou@cc.ncue.edu.tw
离子阱原理